Пародоксальные задачки (апории) Зенона Элейского.

Древнегреческий философ Зенон Элейский (ок. 490 до н.э. - ок. 430 до н.э.) ученик Парменида, представитель Элейской школы, знаменит своими апориями — парадоксальными рассуждениями на тему о движении и множестве. Современники упоминали более 40 апорий Зенона, до нас дошли только 9.

Апории и вообще взгляды Зенона нам известны только в пересказе Аристотеля (384 год до н.э. - 322 год до н.э.) и других античных философов, которые жили столетия спустя и хотя высоко ценили Зенона как "основателя диалектики", но чаще всего были его идейными противниками. Поэтому трудно достоверно выяснить, как формулировал апории сам Зенон, что он хотел показать или опровергнуть.

В V веке до н. э. древнегреческая математика достигла высокой ступени развития, и пифагорейская школа выражала уверенность, что математические закономерности лежат в основе всех законов природы.
Геометрия пифагорейцев опиралась на ряд идеализированных понятий: тело, поверхность, фигура, линия — и самым идеализированным было фундаментальное понятие точки пространства, не имеющей никаких собственных измеримых характеристик. Тем самым любая кривая считалась одновременно и непрерывной, и состоящей из бесконечного количества отдельных точек. Зенон Элейский в своих апориях первым поставил под сомнение применимость к реальному движению таких идеализированных математических понятий.

Наиболее известны три апории Зенона:

Ахиллес и черепаха. 

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху. 

Дихотомия.

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся.

Название "Дихотомия" (по-гречески: деление пополам) дано Аристотелем.

Летящая стрела.

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда. 

Как показал здесь Зенон, допущения, что время и пространство непрерывны (то есть состоят из бесконечного числа, не имеющих размеров, точек) и неограниченно (то есть бесконечно) делимы, приводят к логическим неувязкам. Потому что идеализированные понятия "точка пространства" и "момент времени" не имеют в реальности никаких аналогов, поскольку любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Научные дискуссии, вызванные этими парадоксальными рассуждениями, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль дискретного и непрерывного в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время. 

UPD(15.12.20): Ни математический анализ, ни теория множеств, ни новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса.

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности — локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Зураб Силагадзе "Zeno meets modern science".