Правильные многогранники
Автор: Xpath***
Статья
***
Правильные многогранники
Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников (упорядочены по числу граней):
упорядочены по числу граней):
Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
p — число рёбер в каждой грани; q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
Много-гранник | Вер- шины | Рёб-ра | Гра-ни | символ Шлефли | |
---|---|---|---|---|---|
тетраэдр | ![]() | 4 | 6 | 4 | {3, 3} |
гексаэдр (куб) | 8 | 12 | 6 | {4, 3} | |
октаэдр | 6 | 12 | 8 | {3, 4} | |
додэкаэдр | 20 | 30 | 12 | {5, 3} | |
икосаэдр | 12 | 30 | 20 | {3, 5} |
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику.
Огню соответствовал тетраэдр,
земле — гексаэдр,
воздуху — октаэдр,
воде — икосаэдр.
Данные сопоставления пояснялись следующими ассоциациями: жар огня ощущается чётко и остро, как пирамидки-тетраэдры; мельчайшие компоненты воздуха октаэдры настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков, к которым ближе всего икосаэдры; в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики-гексаэдры составляют землю, которые являются причиной того, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».
Аристотель добавил пятый элемент — эфир — и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.
Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Математик из Базельского университета Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[2]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер.
Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).
***
Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.
Малый звездчатый додекаэдр
Малый звездчатый октаэдр
***
Некоторые примеры более сложных форм
***
P.S. В статье использованы материалы с сайтов Wiki
* * *
P.P.S. Ссылка на первую книгу на сайте "Author Today":
https://author.today/work/158738
* * *
Ссылка на вторую книгу на сайте "Author Today":
https://author.today/work/160692
* * *
Ссылка на третью книгу на сайте "Author Today":
https://author.today/work/160794
* * *
Ссылка на четвертую книгу на сайте "Author Today":
https://author.today/work/160793
* * *
Крутота)
Не так давно (по историческим меркам) математики богохуйствовали, утверждая, что даже всемогущий господь не способен построить 6-е платоново тело. Может, до сих пор так богохуйствуют.
ЗЫ. А чего вы, хоть и упомянули трёхмерное пространство, решили пропустить маленький, но довольно интересный факт, требующий всего пары строк для описания?
Про измерения от 1- мерного и до n- мерного (в реальности больше 4-го говорить уже трудно) планируется несколько статей. Как и о не евклидовом пространстве.
Спасибо за дополнениние!
Эту статью из вики, я тоже сильно урезал.
Мы же не в школе. Это все просто для напоминания о некоторых основах.
Я в школе по ним в своё время с ума сходил, октаэдров из цветного картона перелепил целую кучу. А вот икосаэдр и додекаэдр сделал по одной штуке - слишком уж много с ними мороки было.
Да. Я тоже их делал. Но есть там очень сложные создания. Напрмер что то наподобие "Большой Обратео вывернутый курносый додеко-додеко-икосаедр" - здесь это выдумка. Но в реальности есть очень сдожные.
А ещё их можно раскроить из одного листа бумаги)) Ну, незвёздчатые точно))
Да я вам в следующей статье про оригами расскажу. Японское искусство одного листа. Там и они есть тоже
Спасибо
Спасибо
Интересно, даже с гифками!))
Спасибо! Интересно!
Спасибо
Красиво, стройно) интересно, как всегда)
Спасибо
Очень интересно! Мои мозги, прям на ура воспринимают такие небольшие статьи. Спасибо!
Спасибо
ой, как интересно)
и в этот раз, на удивление, всё понятно
Да вы знали уже. Это просто хорошо забытое нами всеми :)
Прошу прощения, второй многогранник - звёздчатый октаэдр.
Да, платоновы тела, и обе серии полуправильных (равноугольные и равногранные), и бесконечно разнообразные звёздчатые многогранники - само совершенство.
Точно подметили. Именно звезчатый октаэдр. Похоже я там напутал. Спасибо запоправку. +100
Спасибо
Недавно хотела привести пример таких многогранников, чтобы привести пример плоскостей на Земном шаре. И объём шара вычисляется с помощью множества пирамид с плоским основанием, и площадь, и круг.
:)