Правильные многогранники

Автор: Xpath

 ***

Статья

***


Правильные многогранники

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.


В трёхмерном евклидовом пространстве  существует всего пять правильных многогранников (упорядочены по числу граней):

упорядочены по числу граней):

ИзображениеПравильный многогранникЧисло вершинЧисло рёберЧисло гранейЧисло сторон у граниЧисло рёбер, примыкающих к вершинеТип пространственной симметрии
тетраэдр
46433Td
гексаэдр812643Oh
октаэдр612834Oh
додэкаэдр20301253Ih
икосаэдр12302035Ih


Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
p — число рёбер в каждой грани; q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Много-гранникВер-
шины
Рёб-раГра-нисимвол
Шлефли
тетраэдр464{3, 3}
гексаэдр
(куб)
8126{4, 3}
октаэдр6128{3, 4}
додэкаэдр203012{5, 3}
икосаэдр123020{3, 5}


Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. 

Огню соответствовал тетраэдр

землегексаэдр

воздухуоктаэдр

водеикосаэдр

Данные сопоставления пояснялись следующими ассоциациями: жар огня ощущается чётко и остро, как пирамидки-тетраэдры; мельчайшие компоненты воздуха октаэдры настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков, к которым ближе всего икосаэдры; в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики-гексаэдры составляют землю, которые являются причиной того, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Аристотель добавил пятый элемент — эфир — и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Математик из Базельского университета Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[2]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. 

Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

***

Звездчатые формы и соединения тел Платона. Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники.

Малый звездчатый додекаэдр



Малый звездчатый октаэдр


***

Некоторые примеры более сложных форм





***

P.S.  В статье использованы материалы с сайтов Wiki

* * *

P.P.S. Ссылка на первую книгу на сайте "Author Today":

https://author.today/work/158738

* * *

Ссылка на вторую книгу на сайте "Author Today":

https://author.today/work/160692

* * *

Ссылка на третью книгу на сайте "Author Today":

https://author.today/work/160794

* * *

Ссылка на четвертую книгу на сайте "Author Today":

https://author.today/work/160793

* * *

+87
12K

32 комментария, по

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

Дмитрий Дубов
#

Крутота) 👍

 раскрыть ветвь  0
Алекс
#

Не так давно (по историческим меркам) математики богохуйствовали, утверждая, что даже всемогущий господь не способен построить 6-е платоново тело. Может, до сих пор так богохуйствуют.


ЗЫ. А чего вы, хоть и упомянули трёхмерное пространство, решили пропустить маленький, но довольно интересный факт, требующий всего пары строк для описания?

в 4-ехмерном пространстве имеется лишь 6 правильных политопов (так называются аналоги трехмерных правильных тел). В пространстве любого числа измерений, большем 4-х, существует лишь 3 правильных политопа: аналоги тетраэдра, куба и октаэдра.

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Про измерения от 1- мерного и до n- мерного (в реальности больше 4-го говорить уже трудно) планируется несколько статей. Как и о не евклидовом пространстве.  

Спасибо за дополнениние!

Эту статью  из вики, я тоже сильно урезал. 

Мы же не в школе. Это  все просто для напоминания о некоторых основах.

 раскрыть ветвь  0
Дмитрий Янтарный
#

Я в школе по ним в своё время с ума сходил, октаэдров из цветного картона перелепил целую кучу. А вот икосаэдр и додекаэдр сделал по одной штуке - слишком уж много с ними мороки было.

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Да. Я тоже их делал. Но есть там очень сложные создания. Напрмер что то наподобие "Большой Обратео вывернутый курносый додеко-додеко-икосаедр" - здесь это выдумка.  Но в реальности есть очень сдожные.

 раскрыть ветвь  0
Катерина Терешкевич
#

А ещё их можно раскроить из одного листа бумаги)) Ну, незвёздчатые точно))

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Да я вам в следующей статье про оригами расскажу. Японское искусство одного листа. Там и они есть тоже

 раскрыть ветвь  0
GVV
#

😊 👍 

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Спасибо

 раскрыть ветвь  0
 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Спасибо

 раскрыть ветвь  0
Аталина Авантаж
#

Интересно, даже с гифками!))

 раскрыть ветвь  0
Лилия
#

Спасибо! Интересно!😊

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Спасибо

 раскрыть ветвь  0
Pseudokitti
#

Красиво, стройно) интересно, как всегда)

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Спасибо

 раскрыть ветвь  0
Елена Шатилова
#

Очень интересно! Мои мозги, прям на ура воспринимают такие небольшие статьи. Спасибо!🤗 

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Спасибо

 раскрыть ветвь  0
Владимир Войлошников
#

ой, как интересно) 🤓 и в этот раз, на удивление, всё понятно 😣 

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Да вы знали уже. Это просто хорошо забытое нами всеми :)

 раскрыть ветвь  0
Мария Ровная
#

Прошу прощения, второй многогранник - звёздчатый октаэдр.

Да, платоновы тела, и обе серии полуправильных (равноугольные и равногранные), и бесконечно разнообразные звёздчатые многогранники - само совершенство.

 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Точно подметили. Именно звезчатый октаэдр. Похоже я там напутал. Спасибо запоправку. +100

 раскрыть ветвь  0
 раскрыть ветвь  1
Xpath автор
#

Спасибо

 раскрыть ветвь  0
Майка Мальчик
#

Недавно хотела привести пример таких многогранников, чтобы привести пример плоскостей на Земном шаре. И объём шара вычисляется с помощью множества пирамид с плоским основанием, и площадь, и круг.😺 

 раскрыть ветвь  7
Xpath автор
#

:)

 раскрыть ветвь  6
Написать комментарий
10K 14 1 283
Последние комментарии
12 / 12
Jewgenija Malowa
Рецензия на роман «Принцесса и компания. Гримуар чернокнижника» — Галина Миронова
66 / 66
Mobibos
Так сколько импортных автомобилей получил СССР в годы войны?
35 / 35
Стефан Факеер
Если вдруг кто-то Вас спросит: Где лидирует Россия? Вы можете смело и с достоинством ответить:
53 / 53
Nil Магия и разум
Доброго утра, от Nil милые, дорогие, красивые!
30 / 30
Евгений Капба
Хватит ловить мотыльков, зажигай лампочку
9 / 11
Romka
ИИ рулит!)
102 / 102
Арсений
Мѵѳъ о «кухаркиныхъ дѣтяхъ»
3 / 3
Elena Boyko
Спортивная букмекерская контора. Помогите!
1 / 1
Наталья Быстрякова
Любите покушать?
112 / 112
Rara_VIRGA
Есть ли секс после 60-ти или матрас с соломой
13 / 13
Павел Вербицкий
Вкусня, дайте еще!
6 / 6
Владимир Чекмарев
Как ненароком порвать колготки окружающим
15 / 15
Дмитрий Шевчук
Мой способ повышения личной писательской продуктивности (21+)
37 / 37
Игорь Чиркунов
54
13 / 13
pascendi
Маленький кто?
1 / 5
Пелагиа
Песня Царевны Ариадны
62 / 62
Агатис Интегра
А вы бы стали продвигать другого автора у себя в блоге?.. Или конкуренты — это святое?
4 / 4
Гилберт Савье
За что жены убивают мужей
15 / 15
Дмитрий Романофф
Как убедить читателя зайти в книгу
1 / 1
Клим Руднев
Мммм.... вкусняшки
Наверх Вниз