Иррациональные числа: “водяные знаки” на ткани вселенной?

Введение: От яблок к иррациональным числам

Представьте мир, где существуют только целые числа. Одно яблоко, два яблока, три... Но вот мы сталкиваемся с задачей: у Пети четыре яблока, вы просите половину дать Васе. Сколько останется у Пети? Кажется, что правильный ответ — два. Но Петя, будучи мальчиком предприимчивым, отвечает: "Три с половиной". Так мы обнаруживаем, что числа бывают не только целые, но и дробные. Дробные числа можно записать по-разному, например, "три с половиной" — это 3,5.

Но что будет, если мы захотим разделить 5 яблок на троих детей? Мы получим дробь 1,66666..., где цифра 6 повторяется бесконечно. Это число нельзя записать точно с помощью конечного числа знаков после запятой. И хотя это число бесконечно и поэтому выглядит необычно, всё же оно является рациональным числом, потому что может быть выражено с помощью дроби 5/3.

А теперь давайте перейдем от яблок к рисованию или черчению. Допустим, мы решили нарисовать квадрат со стороной один метр (кстати, с футами это работает также). Затем мы рисуем диагональ. И теперь мы хотим измерить диагональ квадрата со стороной 1. И здесь мы сталкиваемся с ещё более удивительным числом, чем дробь с бесконечно повторяющимися цифрами.

Давайте попробуем. Это делается с помощью простой формулы, которая звучит в наших головах со школьной скамьи: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Записывается она так: a² + b² = c², где a и b — катеты, а c — гипотенуза. В нашем случае катеты равны 1 метру, а гипотенуза — это диагональ квадрата, которую мы хотим найти. Подставляем значения в формулу: 1² + 1² = c² Получаем: 1 + 1 = c² => 2 = c² Чтобы найти c (диагональ), нужно извлечь квадратный корень из 2: c = √2

И вот тут мы сталкиваемся с удивительным числом! √2 — это иррациональное число, его десятичное представление бесконечно и не периодично: √2 ≈ 1,41421356…

Что такое иррациональные числа?

Оно не укладывается в привычные нам рамки целых и дробных чисел, словно намекая на существование более глубокого и таинственного математического мира. Но иррациональные числа интересны не только своей бесконечностью. Они также могут служить своеобразным кодом, в котором зашифрована информация о мире.

Бесконечность иррациональных чисел

Только задумайтесь! Бесконечный ряд неповторяющихся цифр! Даже одно такое число уже поражает воображение. Но таких чисел также бесконечно много. Мы сегодня несколько раз упоминали слово "бесконечность". Это понятие сложно представить, для большинства людей даже невозможно.

Но что вы подумаете, если я скажу, что есть что-то большее, чем бесконечный ряд чисел? Люди придумали самое большое число, единицу со ста нулями, и назвали его "гугол" (10^100). (Да-да, это то самое слово, которое взяла за основу для названия компания, специализирующаяся на поиске информации). Чтобы понять, насколько это много, примите как факт, что атомов в обозримой вселенной, со всеми звёздами, галактиками, облаками газа, гораздо меньше. Потом люди возвели гугол в степень гугол. А потом ещё и ещё раз. И так можно до бесконечности.

Но все эти числа состоят из простых цифр. Математики их называют рациональными. Но представьте себе, что иррациональных чисел больше, чем бесконечное количество рациональных. Это может казаться невозможным. Как одно бесконечное количество может быть больше другого бесконечного количества?! Но именно это доказал немецкий математик Георг Кантор.

Знаменитые иррациональные константы

Многие иррациональные числа являются основополагающими константами в нашей вселенной. Одни более известны, другие менее. Мы сейчас можем поближе узнать некоторые из них. С квадратным корнем из двух (√2) мы уже познакомились.

Число Пи (π)

А вот широко известное число Пи (π). Ещё древние египтяне и вавилоняне пытались его вычислить. Многие величайшие умы человечества бились над вычислением этого числа. И каждая новая цифра после запятой была победой. Иррациональность числа π (то есть то, что оно не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n - целые числа) была впервые доказана Иоганном Генрихом Ламбертом в 1760-х годах. Цифрами сокращенно оно пишется 3,14. И для большинства бытовых расчетов этого достаточно.

Число π настолько известно и популярно, что существуют даже праздники, посвященные этому числу. Первый из них отмечается 14 марта, а второй 22 июля. Несложно догадаться, почему 14 марта. 22 июля можно записать как дробь 22/7. И это будет приближенным значением этого числа.

Это число возникло как отношение длины окружности к её диаметру. Другими словами, если выпрямить окружность в прямую линию, сколько диаметров этой окружности поместится в этой линии? Примерно 3,14. Но на самом деле это число бесконечно и не периодично после запятой. Где встречается число π? Там, где нужно измерить длину окружности, площадь круга или объем шара. Но где это может понадобиться? Что первое вам приходит на ум? Длина экватора? Может быть, длина орбиты Земли вокруг Солнца?

Я сейчас вам покажу, что знание числа π и формулы вычисления площади круга гораздо ближе к вам, чем небесные тела. Представьте, вы решили заказать пиццу на вечер. Пиццерия предлагает два варианта пиццы: диаметр 25 см за 400 руб и диаметр 40 см за 800 руб. Что выгоднее купить: две маленькие или одну большую?

Интуиция подсказывает, что, поскольку сумма диаметров двух маленьких пицц 50 сантиметров, а две маленькие стоят столько же, сколько и одна большая, значит, две маленькие выгоднее. Но позовём на помощь формулу вычисления площади круга. Площадь круга равна числу Пи, умноженному на радиус в квадрате. Записывается она вот так: Sкр=πr² Где Sкр — это площадь круга, π — это наша константа 3,14, r — это радиус (радиус — это ½ диаметра).

Итак, решения для наших пицц. Сначала мы находим радиус

Для маленькой это r = 25см ÷ 2 = 12,5см

Для большой это r = 40см ÷ 2 = 20см

Теперь площадь:

Маленькая: 3,14 * 12,5² = 490,625см² (для простоты округлим до 491см²)

Поскольку маленьких пицц у нас две, полученный результат умножаем на 2: 491 * 2 = 982см²

Большая: 3,14 * 20² = 1256см²

Итак, мы видим, что две маленькие пиццы при той же цене оставят вас голодными. Вот вам самое банальное применение числа π. Но на самом деле это число используется в очень многих вычислениях. Например:

 * В физике: π встречается в формулах, описывающих колебания, волны, электромагнитные поля и многое другое.

 * В инженерии: при проектировании зданий, мостов, автомобилей и других конструкций используются формулы, содержащие π.

 * В астрономии: π необходимо для расчета орбит планет, расстояний до звезд и других астрономических величин.

 * В музыке: π встречается в теории музыки, например, при расчете интервалов и построении гамм.

 * В компьютерной графике: π используется для создания реалистичных изображений, например, при моделировании освещения и теней.

Это лишь некоторые примеры использования числа π. На самом деле, оно встречается практически везде, где есть круги, сферы, цилиндры и другие криволинейные формы.

Золотое сечение (φ)

Следующее очень известное иррациональное число — это число φ (фи). Оно известно также как “золотое сечение”. Это число приблизительно равно 1,618. Оно обладает уникальным свойством: если любой отрезок разделить на две части так, чтобы отношение большей части к меньшей было равно отношению всего отрезка к большей части, то это отношение будет равно золотому сечению.

Золотое сечение можно записать в виде дроби (1 + √5)/2, которая содержит иррациональный √5.

Где встречается: Золотое сечение часто встречается в природе (например, в расположении семян подсолнуха), в искусстве (например, в пропорциях картин и скульптур) и архитектуре.

На самом деле большинству людей кажется более гармоничным и красивым всё, что создано с применением правила золотого сечения. В фотографии есть правило третей. Это упрощённый вариант золотого сечения. У многих в их смартфонах в фотоаппарате есть возможность разделить кадр на 9 частей. Чтобы получить фотографию с более интересным ракурсом, лучше объект располагать на пересечении линий. Они называются линии силы. Но ещё более интересные и динамичные фото получаются, если разделить кадр по принципу золотого сечения.

Вы можете расставлять мебель в комнате по принципу золотого сечения, и это будет создавать особый уют в помещении. Это правило работает и по вертикали, и по горизонтали. Например, диван можно поставить не по центру, а сместить так, чтобы он занимал большую часть стены, а рядом поставить торшер или кресло. Тумбочки, кофейные столики, напольные вазы, различные элементы декора будут смотреться гораздо эффектнее, если будут подобраны с учётом этого соотношения.

Так же это правило можно применять в ландшафтном дизайне, выборе одежды. Даже то, как вы положите на тарелку зелень, оливки, польете соус или другие украшения, может выглядеть красивее в пропорции золотого сечения.

Число Эйлера (e)

Давайте рассмотрим последнее из широко известных иррациональных чисел. Число Эйлера (e). Приблизительно оно равно 2,7182. Оно также встречается в самых разных направлениях науки. В биологии с его помощью можно рассчитать рост бактерий в чашке Петри и распространение эпидемий. В физике — распад радиоактивных элементов и скорость затухания колебаний маятника.

Чтобы наглядно продемонстрировать, как работает число Эйлера, давайте рассмотрим банковский вклад.

Представьте, что вы положили 1 рубль в банк под 100% годовых. Через год у вас будет 2 рубля (1 рубль первоначальный взнос + 1 рубль проценты). А теперь представьте, что банк начисляет проценты не раз в год, а каждые полгода. Тогда через полгода у вас будет 1,5 рубля (1 рубль + 50 копеек процентов). А еще через полгода эти 1,5 рубля уже будут приносить проценты! В итоге через год у вас будет 2,25 рубля.

Что, если банк начисляет проценты каждый месяц? Каждый день? Каждую секунду? Если продолжать этот процесс до бесконечности, то есть начислять проценты непрерывно, то сумма на вашем счету будет стремиться к числу e — примерно 2,718 рубля.

Мы с вами максимально упростили задачу для более лёгкого понимания. Но именно так работает рост ваших депозитных вкладов. Конечно, в реальной жизни банки не начисляют проценты непрерывно. Но этот пример показывает, как число e возникает в процессах непрерывного роста или изменения.

Другие иррациональные константы

Перечисленные константы играют ключевую роль в науке, поскольку используются для вычисления других констант. В свою очередь, эти константы применяются в самых разных областях для описания явлений окружающего мира. Можно упомянуть и другие иррациональные константы, которые лежат в основе фундаментальных процессов:

 * Постоянная Эйлера — Маскерони (γ): возникает в теории чисел и анализе.

 * Постоянная Каталана (G): встречается в комбинаторике и теории чисел.

 * Постоянная Апери (ζ(3)): значение дзета-функции Римана в точке 3, появляется в квантовой электродинамике.

 * Постоянная Фейгенбаума (α и δ): связаны с теорией хаоса и бифуркациями.

 * Константа Ландау — Рамануджана: описывает количество целых чисел, представимых в виде суммы двух квадратов.

Список можно продолжать. Просто задумайтесь: мир наполнен иррациональными числами, и это открывает перед нами удивительные математические и философские горизонты.

Бесконечная информация в иррациональных числах

А теперь я предлагаю поговорить об особенностях иррациональных чисел.

Многие знают, что любую информацию, будь то текст, изображение или звук, можно закодировать с помощью двоичной системы, с помощью нулей и единиц (0 и 1). Для кодирования текста в этой системе каждой букве соответствует определенный числовой код.

Например, слово “мир” будет выглядеть вот таким образом в двоичной системе: (01001111 01111000 01001111 01101000 01001111 01110000).

Есть другой, более простой, способ закодировать буквы в цифры: это использовать порядковый номер буквы в алфавите. Таким образом слово “мир” будет выглядеть так: 141018, поскольку М - 14-я буква, И - 10-я, а Р - 18-я буква. Так можно закодировать все буквы всех языков мира. И вот таким образом можно записать любое слово, любой текст. В бесконечном ряду цифр может быть зашифровано всё: не открытые законы вселенной, описания всех тел во вселенной от сверхскоплений галактик до электрона, биографии всех живших когда-либо людей, все книги, которые были и будут написаны, все анализы и рецензии к этим книгам, эта статья, ваши комментарии к этой статье, описания жизни каждой жившей белки, барсука и трилобита, описания всех картин, критика этих картин и критика критиков вся музыка которая когда-либо звучала, информация обо всём в любом изложении. От самых понятных до слишком сложных.

И сколько бы информации мы бы не расшифровали, там будет ещё бесконечное количество цифр как беспорядочных, так и случайным образом создающие аттракторы порядка. Такую библиотеку невозможно представить, но это именно так. Даже попытка представить весь этот объем информации захватывает дух! Но теперь вспомните, сколько существует иррациональных чисел? Бесконечное количество. Бесконечное количество библиотек, содержащих бесконечное количество информации.

А теперь интересный вопрос: откуда взялась вся эта информация? Может ли такое количество информации возникнуть случайно? Не является ли это доказательством существования сверхразума, который закодировал всю эту информацию в ткань вселенной?

Точность настройки

Представим себе, что мы путешествуем по Вселенной и измеряем окружности разных объектов с помощью рулетки. Для начала возьмем обычное колесо. Его радиус всего 0.3 метра. Чтобы узнать длину окружности, нам достаточно округлить число Пи до двух знаков после запятой (3,14). Получаем 1.88 метра.

Теперь перенесемся на кольцевую дорогу вокруг большого города. Ее радиус уже 5 километров! Здесь для точного измерения нужно использовать три знака после запятой для числа Пи (3.142). Длина дороги получится 31420 метров, или 31.42 километра.

Следующая остановка — экватор Земли! Радиус — 6371 километр. Чтобы вычислить длину экватора, округляем Пи до 4 знаков (3.1416) и получаем 40030 километров.

А теперь — орбита Земли вокруг Солнца! Ее радиус — 149,6 миллионов километров. Для расчета нам понадобится 5 знаков после запятой (3.14159). Длина орбиты составит 939963728 километров.

Путешествие продолжается! Наша следующая цель — граница Солнечной системы, примерно на орбите Нептуна. Радиус — 4.54 миллиарда километров. Округляем Пи до 6 знаков (3.141593) и получаем длину окружности 28525664440 километров.

Дальше — больше! Диаметр нашей галактики Млечный Путь — 100 000 световых лет, а это примерно 9.46 x 10^20 метров. Для такого гигантского расстояния нужно 7 знаков после запятой для Пи (3.1415927). Длина окружности Млечного Пути составит 3.1415927 x 10^21 метра.

И наконец, самый грандиозный объект — наблюдаемая Вселенная! Ее радиус — примерно 46.5 миллиардов световых лет, или 4.4 x 10^26 метров. Чтобы вычислить длину окружности, нам понадобится как минимум 15 знаков после запятой (3.141592653589793). Получаем 2.76 x 10^27 метра. Современные суперкомпьютеры вычислили Пи с точностью до 62.8 триллионов знаков после запятой! Этого с запасом хватит для любых измерений в наблюдаемой Вселенной.

Интересно, что каждый добавленный знак после запятой в числе Пи увеличивает точность наших расчетов в 10 раз! Например, если при расчете длины экватора Земли мы используем 3 знака после запятой вместо 4, то погрешность составит около 30 километров. А если взять 5 знаков, то погрешность уменьшится до 3 метров.

Как видите, чем больше объект, тем больше знаков после запятой в числе Пи нам нужно использовать для точного расчета длины его окружности. Ну и напоследок, чтобы измерить вселенную с точностью до сантиметра достаточно округлить число π до 42 сантиметров после запятой. Просто удивительно зачем нужно больше цифр? Для ещё большей точности настройки и понимания мира. И это касается любой константы, если она иррациональное число. Получается, что мы имеем безграничный потенциал углубления в исследовании вселенной.

Иррациональные числа как "водяные знаки" Творца

Многие тысячелетия ученые всей планеты исследовали мир, расширяя границы познания и вдаль, и в глубину. И одним из главных инструментов была математика. Вы легко сможете найти десятки цитат великих людей, отдающих свое почтение этой “царице наук”. Кстати, так называл эту дисциплину Карл Фридрих Гаусс, которого самого называют королем математики. Но моя любимая — это та, что сказал Галилео Галилей: “Математика — это язык, на котором написана книга Вселенной”.

Но удивительнее всего было то, что чем больше мы узнавали об окружающем нас мире, тем большие горизонты эти знания открывали перед пытливыми умами для исследования. В той или иной формулировке многие повторяли мысль о том, что чем больше я узнаю, тем меньше знаю. Мы накапливаем знания о вселенной, но всегда остаётся что-то ещё, что предстоит узнать. Ответы лишь порождают новые вопросы.

Этот процесс не останавливается, и кажется, нет ему конца. Но с другой стороны, разве это не логично? Ведь основой мира, фундаментальными константами, являются числа, в написании которых нет предела. Эти числа являются и ответом на все вопросы, поскольку в них зашифрована вся информация мира и основанием для расчетов и описаний, и в то же время препятствием для получения точной картины.

Они как “водяные знаки” на денежной купюре. Можно очень хорошо описать купюру. Можно с точностью скопировать изображение. Но это не станет настоящим денежным знаком, поскольку на настоящих деньгах есть водяные знаки, которые не передаются при воспроизведении через копирование.

Допуская возможность разумного начала вселенной, мы легко сможем представить, как Создатель защитил свое творение, настолько сложными “водяными знаками”, как иррациональные числа. Эти знаки можно увидеть, рассчитать до определенного предела. Но когда мы начинаем подставлять их в формулы, мы обнаруживаем, что из-за иррациональности этих чисел мы не можем получить точное значение в результате.

Мы вынуждены идти одним из двух путей. Первый: мы обозначаем иррациональные константы символами и так и оставляем в виде букв или символов. Но так мы не получим рационального результата. Это будет описание в виде не решенной формулы или просто общее представление. Второй путь — это всё-таки использовать цифры. Но поскольку записать бесконечное число невозможно, мы вынуждены округлять. Но в этом случае мы получаем и результат округленный, что значит не точный.

Таким образом, мы не можем получить точный ответ на свои вопросы, а лишь более-менее точное описание.

Учёные уже больше ста лет пытаются вывести теорию всего. Она должна будет объединить все основные взаимодействия. Вполне возможно, что появится одна элегантная формула или, может быть, ряд формул, вытекающих одна из другой. Как бы там ни было, в этой формуле обязательно будут иррациональные числа, которые не дадут просчитать результаты до абсолютных значений. И чем больше таких чисел будет в этих формулах, тем больше будет округлений и допущений. То есть даже описать мир мы сможем только с той или иной степенью точности.

Можно немного пофантазировать и представить, что некто нашел неисчерпаемый источник энергии и, взяв за основу эти формулы, попытался создать новую вселенную. У него не выйдет точно такой же мир, как наш. Возможно, очень похожий, но другой, поскольку с какой бы точностью он ни вносил бы иррациональные константы в свою программу создания, он, округляя их, накапливал погрешности, придя в итоге, возможно, к очень хорошей копии, но всё же подделке.

Заключение: Путь познания бесконечен

Мы подошли к концу нашего небольшого размышления. Я не ставил задачей научить вас чему-то новому. Я просто хотел показать, как по-новому можно смотреть на вполне привычные нам вещи. Наш мир огромен, и всегда найдется неизведанная область для пытливого ума. Самое главное — это то, что хочется видеть разумное начало у всего, что нас окружает.

И как мне кажется, иррациональные числа, как “водяные знаки”, являются хорошим маркером этого Разума. Что Некто, создав мир, позаботился о безграничности познания и невозможности понять и описать всё. Тем интереснее становится исследовать. Это как вызов: вот вам загадка с бесконечным количеством правильных ответов и с таким же количеством неверных. Ищите, узнавайте, исследуйте. Продвигайтесь вперед. Этот путь никогда не будет скучным и никогда не будет окончен, потому что каждый шаг откроет перед вами ещё несколько новых горизонтов.

А иррациональные числа, как символы бесконечности и непознаваемости, будут напоминать нам о том, что мир всегда будет полон загадок и открытий.