Пара слов о баллистике.

С появлением мортир артиллеристы вполне обоснованно заинтересовались, а как бы так заранее рассчитать выстрел, чтобы не тратить порох и ядра напрасно, потому как стрельба из пушек - это затея недешевая. Первым, кто оставил весьма обширные заметки по баллистике считается Леонардо "наше все" Да Винчи, но первым, кто приобрел широкую известность был Никколо Тарталья, теоретически обосновавший, что наибольшую дальность орудия будут обеспечивать при углах наклона ствола около 45 градусов. При этом, если заглянуть в труды Тарталья, можно увидеть, что в его представлении траектория была не параболической:

Дальше Галилей создал всем нам известную формулу дальности броска тела под углом БЕЗ учета сопротивления воздуха (в вакууме). Для многих на этом баллистика заканчивается, но уже в конце 17 века Ньютон обосновал, что траектория у снарядов не параболическая, а сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Дальше были Эйлер, Лежандр, Дидон, Башфорт, Маиевский и многие другие, совмещавшие практику и теорию. Господа ученые обосновали ряд формул, позволявших, хоть и погрешностями, но рассчитывать как сопротивление воздуха движению снаряда, так и траекторию движения оного.  

Формула для расчета сопротивления воздуха.

Эмпирические коэффициенты к ней. 

Траектория полета снаряда в понимании ученых и артиллеристов последней трети 19 века. 

В конце 19 века и начале 20 к этим работам подключился академик А.Н. Крылов, применивший для решения задач баллистики метод численного интегрирования, учитывавший, в том числе, изменение плотности воздуха с увеличением высоты, что позволило с довольно высокой точностью рассчитывать стрельбу на сверхдальние дистанции, тогда еще недоступные. Впрочем, этот метод (или аналогичный) немцы использовали при обстреле Парижа из своей серхдальнобойной пушки лишь немногим позже. 

Не нравятся методы численного интегрирования? 

Есть аналитическое решение задачи, но менее точное. Уравнение движения сферического снаряда с учетом сопротивления воздуха. 

В данном случае к - коэффициент, учитывающий участие формы, диаметра и веса снаряда в его торможении. Понятное дело, что коэффициент по идее должен быть динамическим, но для оценочного расчета вполне подходит. Не нравится - идем на поклон к А.Н. Крылову. 

Из этого уравнения движения немного поупражнявшись с производными, интегралами и, в какие то моменты комплексными числами (на самом деле решения уравнения с комплексными числами просто отметаются) мы получим формулы для определения дальности полета снаряда, высоты его подъема, времени полета и вот это вот все. Они будут похожи на те, что учили в школе (для безвоздушного пространства), но в них будут так же дополнительные слагаемые (как в формуле чуть выше, она от уравнения движения в вакууме отличается наличием третьего слагаемого). 

Как сказано выше, это будут формулы для примерных вычислений, но на порядок более точные, чем без учета сопротивления воздуха. 

Так, например, для 32 фунтового цельного ядра при начальной скорости 370 м/с и угле возвышения 1 и 9 градусов мы получим точку первого касания в 222 и 1174 метрах (без учета сопротивления воздуха, соответственно, 480 и 4300 м)

Смотрим книгу 1840 года

Довольно близко. 

Поправлюсь - в книге были сажени. Неясно какие - морская сажень - 1.83 м, а "СТАНДАРТНАЯ" семифутовая - это 213 см. 

посмотрел скорость ядра для пушки большой пропорции - 1690 футов/сек (515 м/с)

расчетный результат 407 и 1723 метра. Скорее всего потому, что не учтена высота лафета и то, что сопротивление воздуха при падении скорости снижается, то есть коэффициент К в формуле должен быть динамическим. 

Дальности в вакууме соответственно 950м  и 8.3 км. 

Резюмируя: фактическая пушка при моей расчетной методике даст небольшой перелет, при "вакуумной" - чудовищный недолет.