Римская и греческая система счета (ужас математика)

Угораздило меня заняться VII веком в Европе. Внезапно. Причем нужно мне оказалось понять некоторые аспекты тогдашней математики. В итоге я погрузилась в эти дебри, немного сломала себе мозг и решила принести это другим людям. Может кто еще решит попробовать сломать мозг себе.

Системы счета (римская и греческая)

В VII веке Византийская империя окончательно отказалась от латыни и перешла на греческий язык. А еще из официального документооборота, налоговых ведомостей и научных трактатов полностью исчезли римские цифры. Полностью возвращается алфавитная (или ионическая) система счисления. Возвращается она из времен Древней Греции.

Это было довольно разумно.

Римская система счета скорее тормозила развитие математики. Я даже столкнулась с тем, что в истории науки нет такого понятия, как “римская математическая школа”. Если перечислять великих математиков древности, оставивших нам фундаментальные законы и теоремы (Архимед, Евклид, Пифагор, Диофант, Эратосфен), то все они окажутся греками, пусть даже многие из них позже жили и работали на территории Римской империи (например, в Александрии).

Все упирается в систему счета - римские цифры.

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

А теперь запишем, например, 3888: MMMDCCCLXXXVIII

А теперь попробуем умножить CLXVII на LIV - не надо переводить это в привычные нам арабские (индийские) цифры. В Риме их не знали.

Продвинутые граждане использовали для счета фаланги пальцев. Богатые и образованные имели для расчетов абак.

И греческая система в сравнении с римской все-таки чуть-чуть удобнее.

Принцип этой системы: каждому числу соответствовала конкретная буква греческого алфавита. Полноценный числовой ряд требовал 27 знаков (по 9 на единицы, десятки и сотни), поэтому к стандартным 24 буквам добавляли три устаревшие, вышедшие из языкового обихода буквы: стигму (6), коппу (90) и сампи (900).

Византийцы записывали числа строго слева направо — от высших разрядов к низшим. Чтобы отличить текст от математического расчёта, над буквами-цифрами проводили горизонтальную линию.

Число 365: τξε - кстати, уже почти привычно нам, хоть и записано греческими буквами.

Число 509: ϕθ - а вот тут проблема. Греки, к сожалению, не использовали никакого знака для нуля. Т.е. вообще. Если в числе ноль десятков. То их просто в записи нет.

Для записи тысяч использовались буквы от α до θ и перед ними ставилась черточка, типа апострофа.

Число 1365: ‘ατξε

Для сложных расчетов, как и римляне, византийцы использовали абак.

Почему индийцы были в тот исторический период лучшими математиками?

Мы о них не слышали, к сожалению. Но в Индии в этот период как раз были математики, очень опередившие греческую математическую науку.

Начнем с того, что Баудхаяна доказал теорему Пифагора за 2 века до Пифагора. На месте Баудхаяны мне было бы обидно.

А во времена, когда в Византии, чтобы сложить два сложных числа нужно было механическое приспособление, индийцы прекрасно умели складывать, вычитать, умножать и делить в столбик (система была своя). И их наука продвинулась куда дальше.

Ариабхата (476–550 гг. н.э.): Вычислил число Пи до четырёх знаков (3,1416), открыл иррациональность Пи и заложил основы тригонометрии, заменив хорды синусами.

Варахамихира (505–587 гг. н.э.): Доказал фундаментальное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1 и вывел ранние формулы комбинаторики.

Бхаскара I (около 600–680 гг. н.э.): Первым стал повсеместно использовать круглый символ нуля (0) в позиционной записи и создал сверхточную формулу вычисления синуса.

В Европу ноль пришел аж в XII веке с трудами Аль-Хорезми. А цифры, которые обозвали арабскими, популяризировал Фибоначчи в XIII веке.

Сравнение индийский и греческой системы счета:

Отсутствие нуля тормознуло византийскую, а потом и европейскую, науку на века

Незнание нуля как самостоятельного абстрактного понятия - это для математики просто какая-то яма.

В редких астрономических таблицах византийцы могли использовать эллинистический символ ouden (ничего) исключительно для обозначения пустого места в столбце. Но они категорически не воспринимали ноль как полноценное число. Для них число было эквивалентом физической реальности — длины отрезка, количества монет или мешков зерна.

Ну и наше любимое: на ноль делить нельзя - они восприняли бы как веселый каламбур. А потом вообще сломались бы, когда узнали, что на самом деле можно.

Это привело к трем критическим проблемам, которые на века затормозили математику:

1. Невозможность расчётов на бумаге

В Византии было невозможно считать в столбик. Буквенная система делала алгоритмы умножения и деления невероятно запутанными.

И снова пробуем: χλη (638) умножить на ωγ (803). Представьте, что вы не знаете арабских (индийских) цифр.

Из-за того, что буквы не имеют позиционной гибкости, вам придётся поочередно умножать каждый разряд на каждый, порождая новые символы.

По этой причине византийцы были вынуждены использовать абак. На пергамент зписывали уже готовый, механически полученный результат. Математика оставалась привязанной к предметному миру и физическим манипуляциям.

2. Паралич алгебры

Без нуля невозможно представить отрицательные числа, а без них — создать полноценную алгебру. В то время как индийский математик Брахмагупта в VII веке уже формулировал правила операций с отрицательными числами и нулём, называя их “долгом”, “имуществом” и “ничем” (0 - a = -a), Византия продолжала решать уравнения исключительно геометрическими методами. Любая попытка абстрагироваться от геометрии приводила к тупику, ведь уравнения невозможно было свести к универсальному виду, где на одной из сторон находится 0.

3. Торможение вычислительной астрономии и инженерии

Хотя византийские архитекторы смогли воздвигнуть шедевр инженерной мысли — собор Святой Софии, их расчёты опирались на эмпирический опыт, чертежи и справочники геометрических пропорций. Громоздкость буквенного счисления делала любые масштабные вычисления очень трудноосуществимыми. Астрономы тратили недели на вычисление пасхалий и траекторий планет там, где позиционная система с нулём позволяла справиться за несколько часов.

Византийская буквенная система счисления была надежным, эстетичным и устойчивым к подделкам со стороны налогоплательщиков инструментом своего времени. Однако, она оказалась глуха к чистой абстракции. Потребовалось еще несколько веков, чтобы индийский ноль через арабских посредников проник в Европу и сдвинул математику с мертвой точки.