Жестокая правда о математике

Я тут столкнулся с одной интересной проблемой, о которой позже тоже напишу, но не сейчас. Сейчас я напишу о выводе, который, как всегда, давно крутился в голове, но только сейчас оформился и вылез наружу.

Ни для кого не секрет (впрочем, вру, многие не в курсе даже среди учителей), что математика сложна для нормального человека из-за абстрактности её концепций. Эволюционно так сложилось, что человек мыслит образами, и ему трудно представить, скажем, вероятность наступления какого-то события. Из-за этого случается казус, при очередной встрече с которым лично у меня тут же начинает подгорать: человек знает назубок формулы, определения, решает стандартные задачи, но как только выходишь за эти рамки и предлагаешь, например, нестандартную задачу, требующую подумать самому, как всё, тушите свет. Краснодипломник в один момент превращается в бекающего и мекающего двоечника. 

Как следствие, таких не берут в инженеры. Такому можно поручить простейшую работу и надеяться, что жизнь научит его думать. Веслом по голове.

И особо коварная и опасная проблема заключается в том, что интуиция в математике даёт сбои, особенно у тех, кто слабо с ней знаком. Интуиция привыкла к образному миру - да, там она может превратить едва слышное потрескивание породы над головой в сигнал и заставить человека уносить ноги из пещеры. Но не в математике. 

Ярчайший пример - парадокс Монти Холла. Я не раз пытался объяснить суть этого явления людям, и мало того что они не понимали, так ведь ещё и упирались, стоя на своём. 

Для тех, кто не в курсе, что это такое, вот классическая цитата:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Ведущий всегда открывает дверь с козой, всегда предлагает сменить выбор и всегда придерживается принципа равновероятности, т. е. если вы выбрали дверь с автомобилем, он выберет случайным образом одну из двух оставшихся.

Интуиция подсказывает, что шансы не увеличатся, ведь дверей осталось две, а значит, шансы 50 на 50. Разумеется, это не так: если изменить выбор, ваши шансы получить автомобиль становятся равными 2/3.

И вот это и отказывается принимать наш мозг. Это просто противоречит здравому смыслу: как так шансы могут меняться, если я выбираю из двух дверей? Даже Разрушители легенд проверяли это на практике, хотя ответ давно известен и является классическим.

Лично для меня наиболее понятным оказалось следующее объяснение. Представьте себе, что дверей у вас не три, а миллион. За одной автомобиль, за остальными - козы. Вы выбираете одну и с шансом 1/1000000 угадываете автомобиль. Ведущий открывает все двери, кроме одной, и предлагает сменить выбор. Если вы его не меняете, каковы шансы выиграть автомобиль?

Разрешение "парадокса" заключается в том, что человек не учитывает открытые двери. Он их выкидывает из области задачи, ведь они открыты, за ними нет автомобиля. Он забывает, что изначально выбирал из миллиона дверей. Представьте себе, что это не ведущий открывает двери, а вы, руководствуясь его указаниями. Из этого следует, что если менять выбор, вы откроете 999999 дверей, а если нет - только одну. Соответственно, и шансы будут один на миллион и 999999 из 1000000.

Ну а в классическом примере если не менять выбор, вы открываете одну дверь, а если менять - две. Отсюда и шансы.

Руководствоваться интуицией в математике опасно. Результаты могут быть совершенно неожиданными, если сесть и посчитать, а не пытаться оценить ситуацию в уме. Если вы считаете, что в реальности это никого не затрагивает, то нет, существует, например, ошибка игрока - когда играющий в кости человек считает, что после череды проигрышей ему непременно должно повезти, и ставит всё. 

Нет, вероятность выигрыша останется точно такой же, как и раньше. И если вы напишете в лотерейном билете "123456", то вероятность выигрыша будет точно такой же, как и при любом другом наборе цифр. 

А теперь живите с этим.