Доказательство существования русалок

Доброго!
Вначале вводные. Импликация — это логическая операция вида «если А, то Б», где первая часть А называется условием, а вторая Б — следствием. Импликация считается ложной только в одном-единственном случае: когда из правды (А) следует ложь (Б). Во всех остальных ситуациях импликация абсолютно истинна.

Из этого правила вытекает удивительное следствие: из лжи следует всё что угодно. Если исходное условие (А) ложно, то вся импликация автоматически становится истинной, независимо от того, какой бред написан во второй части (Б). Логикам не важно, есть ли между фразами реальная связь. Например, утверждение «Если дважды два три, то я есть угол дома» безупречно истинно. Сама посылка «дважды два три» — это ложь, а значит, импликация не нарушена, и из нее можно вывести любую фантазию. Логика в этом плане штука удивительно покладистая.

И раз уж мы вооружились этим знанием, давайте наконец докажем то, что скрывают все океанологи мира. Да,  русалки существуют. И это не эзотерика, а чистая, хладнокровная математика.

Следите за руками. Запишем на воображаемой доске всего одно утверждение, которое назовем Утверждением У: «Если это утверждение истинно, то русалки существуют». Давайте проанализируем его, используя наши знания об импликациях. Предположим сначала, что Утверждение У ложно. Как мы только что разобрали, импликация ложна, только если ее первая часть — правда, а вторая — ложь. Но если первая часть («это утверждение истинно») является правдой, значит, само Утверждение У истинно. Получаем явное противоречие: мы предположили противное, что оно ложно, а вывели, что оно истинно. Значит, наше предположение неверно, и Утверждение У никак не может быть ложным. Раз оно не ложно, оно обязано быть истинным. А теперь посмотрим, что оно буквально говорит: «Если Утверждение У истинно, то русалки существуют». Мы только что железно доказали, что первая часть («Утверждение У истинно») — это чистая правда. А раз вся импликация истинна, и её начало истинно, то по строгим правилам логики её конец обязан быть истинным. Вывод очевиден: русалки хвостатые, прекрасные, с ракушками в волосах, существуют и против математики тут не попрешь.

Где же подвох и почему Ариэль еще не ждёт нас с утренним кофе?

Всё дело в том, что наша вселенная и наш язык надежно защищены от подобного логического колдовства. В начале двадцатого века великий логик Альфред Тарский сформулировал теорему о невыразимости истины. Если говорить максимально доступно, то вы просто не можете построить надежную логическую систему, в которой язык способен беспрепятственно судить об истинности своих же собственных утверждений. Понятие «истинно» для какого-то конкретного языка должно жить на уровень выше — в так называемом метаязыке. Как только обычный язык начинает заглядывать сам себе под хвост и оценивать собственную правдивость, как наше Утверждение У, система ломается и начинает генерировать чудовищ, парадоксы и русалок.

Наше шуточное доказательство — это классический парадокс Карри, названный в честь логика Хаскелла Карри. Он наглядно показывает, что если позволить утверждениям ссылаться на самих себя без строгих ограничений Тарского, то с помощью  логики можно легко доказать абсолютно любой абсурд. Так что русалок мы сегодня, увы, не нашли, зато спасли мир от полной анархии.

Так и живём! )))