Множество Мандельброта

Впервые я прочитал о фракталах - 40 лет назад, классе в пятом-шестом, в журнале "Техника - молодежи". Слово "Фрактал" происходит от латинского "дробный", так как у этих математических фигур дробная размерность. Они не трехмерны, и не двумерны, и не одномерны - их размерность выражается не целым числом, а дробью, например, 1 целая и четыре десятых, 2 целых и шесть десятых.  Фракталами американский математик предложил называть особые математические объекты, обладающие свойством дробности и до него не изучавшиеся. Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, зазубренных, изъеденных ходами и отверстиями, шершавых. В 1977 году вышла его книга "The Fractal Geometry of Nature" - "Фрактальная геометрия природы". 

Представим себе числовую последовательность, каждый следующий член который равен квадрату предыдущего члена плюс постоянное слагаемое (константа). Что ожидает нас в конце, каков предел, к чему она стремится? На числовой прямой все просто - если начинать с того, что меньше единицы, то стремится к нулю, а если с большего единицы, то к бесконечности. А если взять числовую плоскость? Комплексные то есть числа, которые суть точки на плоскости? Задачка не решается. То есть совсем не решается - аналитически никак нельзя предсказать, ни из каких законов не следует, что ждет в конце последовательности с таким-то начальным числом и с такой-то константой. Поскольку это требует чрезвычайно больших вычислительных затрат, то поставленный еще в начале XX века Гастоном Жюлиа и Пьером Фату вопрос, так и оставался без ответа. Лишь в семидесятые годы, с появлением компьютеров, возможно стало подступить к проблеме. Что и сделал Бенуа Мандельброт. Это множества Мандельброта, названная по имени Бенуа Мандельброта, первого ее исследователя, самого известного фрактала.

Посчитали и удивились - если нанести на плоскость все точки, от которых последовательность не убегает на бесконечность за какое-то приемлемое число шагов, то получается невообразимо, фантастически сложная фигура. Эту геометрическую фигуру, т. е. множество точек, назвали множеством Мандельброта. Непонятно, как такое простое уравнение может привести к такой сложной структуре, тем не менее, это так. Открытие таких геометрических объектов стало эпохальным событием в земной науке. 

Это поистине один из немногих объектов, который связывает нас с чем-то абсолютно объективным и бесконечным, превосходящим биологию и историю. Даже если бы вся наша Вселенная и все её атомы исчезли завтра, уравнение осталось бы верным. Оно не написано на звёздах; оно заложено в самой структуре логики. Это делает множество Мандельброта своего рода абсолютом. Множество Мандельброта существует независимо от нашего разума и технологий. Это бесконечная математическая структура, которая существовала всегда.