Хотите теории вероятностей?

Тут понаписал в одном месте, оставлю на память

Простейшая задачка, но, как оказалось, толпы вот таких: "Ладно я со своим МПГУ (и пофиг что ведущий педвуз страны), но человеку не смог доказать что он ошибается даже Физмат МГУ!" -- неспособны к решению подобных задач.

Воспользуемся классическим представлением с урнами и шарами.

Условие задачи

Дано: в одной урне два белых шара, в другой урне -- белый и черный.
Из наугад выбранной урны наугад достали один шар, он оказался белым.
Вопрос: какова вероятность того, что следующий шар из той же урны будет белым?

Предварительные пояснения и анализ задачи

Представим урны и шары графически.

Нередко  люди не понимают разницу между абстракцией "белый шар", обозначающей  любой белый шар, и конкретным белым шаром (кто знаком с  программированием: это как не понимать различие между классами и  экземплярами классов). Чтобы избежать такого недопонимания, шары на  схеме пронумерованы и здесь "белый шар" это любой из шаров №№ 1, 2 или 3.

Если  произошло событие Ш "достали шар" (без уточнения цвета), то это может  быть любой из 4-х, эти события равновозможны и вероятность для каждого  из них Р(Ш) = 1/4.
Через полную группу событий. Четыре шара  составляют полную группу событий, сумма их вероятностей 1, для  равновозможных событий: Р(Ш) = 1/4.
Для тех, кто посчитал, что  проигнорированы урны: вероятность выбрать урну Р(У) = 1/2, вероятность  выбрать один из двух шаров в урне Р(Ш|У) = 1/2, соответственно: Р(Ш) =  Р(У) × Р(Ш|У) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Рассмотрим событие Б "достали первым белый шар".

Введем обозначения:

1, 2, 3 -- события "достали шар" для шаров № 1, 2, 3
Б -- событие "достали белый шар"
У1, У2 -- события выбора урны 1 (левой) или 2 (правой)
Б1, Б2 -- события "достали белый шар" из урны 1 и 2

Пояснения:
1) всего шаров 4, из них белых 3, вероятность Р(Б) = 3/4;
2) белые шары входят в полную группу независимых событий,
поэтому Р(Б) = Р(1) + Р(2) + Р(3) = 1/4 + 1/4 + 1/4 =  3/4;
3) кто снова потерял урны, с урнами то же самое: Р(Б) = Р(У1)×Р(Б1) + Р(У2)×Р(Б2) = 1/2×1 + 1/2×1/2 = 3/4.

1-е решение задачи

Достали белый шар, но какой именно -- неизвестно, значит это может быть один из трёх шаров 1, 2 или 3.

Следующим можно извлечь шар только из той же урны, что и предыдущий, поэтому для трёх шаров получаем пары трех равновозможных (см. схему выше -- Р(Ш) для каждого из шаров равны) исходов:

1 -- 2 (второй белый)
2 -- 1 (второй белый)
3 -- 4 (второй черный)

Эти три пары составляют полную группу возможных исходов.
4-й шар черный, его случай не удовлетворяет условию задачи, поэтому из трех возможных исходов, благоприятствующих два.

Ответ: 2/3

2-е решение задачи

Воспользуемся решением через условную вероятность (желающие могу почитать учебники по теме).

Р(У1) = 1/2 -- вероятность выбрать левую урну с двумя белыми шарами (для данной задачи равнозначно двум белым шарам подряд)
Р(Б) = 3/4 -- вероятность выбора белого шара при первой попытке (см. выше)
Р(У1  | Б) -- условная вероятность "вероятность выбора левой урны при  условии, что первый шар белый" (то же самое, что "второй шар белый")

Р(У1 | Б) = Р(У1) / Р(Б) = 1/2 : 3/4 = 2/3

Ответ: 2/3

3-е решение задачи (добавлено)

Для тех, кто думает, что первоначальные вероятности в решении неприменимы.

Поскольку полную группу первого исхода "достали белый шар" составляют шары 1, 2, 3, первоначальные вероятности достать которые были равны, то теперь вероятность того, что достали именно этот шар также равны и составляют по 1/3.

Остались возможными исходы:

1 -- 2 -- Р(1 и 2) = 1/3
2 -- 1 -- Р(2 и 1) = 1/3
3 -- 4 -- Р(3 и 4) = 1/3

Р(У1 | Б) = Р(1 и 2) + Р(2 и 1) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Ответ: 2/3

Иллюстрация к решению 3

Есть и другие варианты решения задачи, но остановимся пока на 3-х

См. также иллюстрацию, которая предельно наглядно демонстрирует правильный ход решения.

UPD.

Варианты решения более сложной задачи про пирожки из учебника.