Как работает самострел. Часть 4

Продолжение.

Начало здесь https://author.today/post/855813

Напомню, что веду свой, "неправильный", по сегодняшним меркам, рассказ об оружии. Без наукообразной терминологии.

Нас учили, что любое дело, даже очень сложное, можно объяснить таким простым языком, чтобы вас понял и очень важный академик, и самый неграмотный колхозник.

Постараюсь.


В предыдущей части мы рассмотрели, как самострелы взводят.

Пест2\Рис.70 У этого самострела рычаг взведения - "цевьё". Вероятно, откидывается вниз и вперёд, придвигая замок к тетиве до замыкания.

Пест2\Рис.71 Приблизительно так же. Удобно, хотя для многозарядных самострелов способ может не подойти:

Пришла пора поразмышлять и посчитать на пальцах, как не сделать ошибок, придумывая толковый самострел, и как он будет выглядеть в результате.

Здесь понадобится математика. Но не высшая, а самая обычная, школьная :-)


Блоки.
Начнём с них.

Математика\Рис.72 В руке человека "ходовая" часть шнура, а у блоков и груза "тяговая".

Блок и полиспаст (когда несколько блоков) делят собой верёвку на две части. В одной части у верёвки большая нагрузка и короткий ход. В другой маленькая нагрузка и длинные ходы.

Мысль 4.1 Как ускорить снаряд.
Европейские средневековые изобретатели додумались поменять ручной деревянный лук на тугую деревянную оглоблю, а позже ставили и железную рессору.
Была надежда, что мощная дуга разгонит стрелу быстрее и более тяжёлую.
Угадали более со вторым - крепостной/станковый самострел охотно стреляет ... небольшим копьём.
Математика\Рис.73 Деревянное бревно разгибается сильно, но не так быстро, как бы хотелось. Потому и снаряд тоже тяжёлый и медленный:

Но тяжёлый снаряд нужен не так часто, как быстрый и дальнобойный. А быстро распрямиться может не всякая рессора.
Например, корпорация яндекс уверяет:

1)

Минусы металлического лука:

Большая масса плеч. Инерция сильно замедляет распрямление. Энергия уходит не столько на разгон стрелы, сколько на движение самих плеч.

Низкая упругость по сравнению с композитами. Сталь хуже накапливает упругую энергию на единицу массы.

Короткий ход тетивы. Из‑за жёсткости металла длину натяжения приходится сокращать (обычно до 10–15 см), что снижает энергию, передаваемую стреле.

Сложность изготовления. Требуется точная термообработка. Без неё лук будет либо хрупким, либо «вязким».

Делаем вывод - железный лук был сильнее деревянных, но медленнее.

2)

Ключевой фактор — предел упругости материала. Это граница, до которой материал деформируется и возвращается в исходное состояние. Для пружин, которые должны быстро распрямляться, выбирают стали с высоким пределом упругости. Например, используются марки 65Г, 60С2А, 50ХФА. Эти сплавы обеспечивают необходимую жёсткость и способность быстро возвращаться в исходное положение при снятии нагрузки. b-steel.pro

Делаем второй вывод - до эпохи развитой металлургии поточное производство качественных стальных луков непосильно, нужны термисты и пружинные стали.

В недалёкой древности таких марок стали не было, поэтому выбор между вложением энергии лука в массу или в скорость было выгоднее решать через массу. Потому и стреляли тяжёлыми (50-75 граммов) стрелами даже из ручных самострелов.

Чтоб разогнать лёгкую стрелу, следует ускорить движение тетивы относительно лука. Это можно сделать блоками.
Через блок тетива получит половину усилия дуги, но сможет разгонять стрелу до удвоенной скорости.
Это пологая, настильная траектория, и с ней будет легче брать поправки по расстоянию.
Математика\Рис.74 Настильная траектория удобнее:

А ещё меньшее подлётное время, легче принять упреждение по подвижному противнику.

Кроме того, Е=М*В²/2 (Энергию снаряд запасает пропорционально произведению Массы и квадрата Скорости). Если скорость увеличить хотя бы в полтора раза, массу снаряда можно уменьшать в 1.5²=2.25 раза, это выигрыш в экономии материалов, трудозатрат, мест хранения и облегчение транспортировки вооружения.
Подействует и в масштабах большой армии, и на отдельного стрелка.
Вот первые  причины применять блоки в самострелах.
Есть и другие.

Мысль 4.2 Как достичь максимума.
Вспомним устройство рогатки, и нарисуем характеристику усилия на её резине в зависимости от растяжения.

Рис.74б

Должна получиться более-менее прямая линия, которая начинается в нуле и поднимается направо вверх. Для определённости зададим и параметры стрелка.
Это будет человек с размахом рук полтора метра ровно.
Наверное, мальчик ростом 1.40-1.50, или девочка ростом 1.50-1.60. У европеоидов руки девочек, в среднем, короче, чем у мальчиков.
Математика\Рис.75

А может оказаться, что это малорослый взрослый. Но по таблицам для лучников ему требуются стрелы длиною около 60см. Проверил таблицы рулеткой, полагаю, что лучники в них опираются на размах рук с вытянутыми пальцами.

Благодаря рулетке пришёл к выводу, что со стрелой 60см рабочий ход правой руки такого стрелка, от левого кулака до подбородка, равен примерно 50см.
Вот и отложим по горизонтали полметра, от левой руки до максимально оттянутой правой.
Допустим, что наш стрелок может растянуть рогатку с усилием в 5кг. Довольно серьёзная характеристика, в продаже сейчас заводские рогатки с усилием до 4.5кг.
Рисовать начнём с точки 50см:5кг.
Резину на рогатку дадим тоже серьёзную, свободной длиной 20см. Она сможет много раз растягиваться в полметра без особого износа.
Математика\Рис.76 Обозначения: "Л" левая рука, ноль шкалы натяжения; "П" крайнее положение правой руки, предел натяжения, расстояние в миллиметрах.

Вот рисуем и вторую точку на графике, 20см:0кг и соединяем с первой точкой прямой чертой. Рабочий ход натяжения рогатки с 20 до 50, всего 30 сантиметров.
Энергия, которую запасает накопитель рогатки (резина от велосипедной камеры), пропорциональна площади фигуры, ограниченной отрезком этой линии на графике.

Почему? По школьному курсу механики, A=F*S. Работа (энергией измеряют) равна произведению приложенной силы на расстояние.
Площадь заштрихованного треугольника равна 5кг*0.3м/2=... давайте, переведём килограммы в Ньютоны и получим ответ Джоулями. 50Н*0.3м/2=7.5Дж.
Как у пневматической винтовки ИЖ-38 в советском летнем тире.
Впрочем, у резинового жгута есть свой КПД, и чем сильнее растягивать резину, тем он меньше. Но можно предположить, что здесь он ~80%. 7.5Дж*0.8=6.0Дж энергия снаряда. Неплохо.
Но как бы сделать побольше?


Возьмём лук.
Подберём такие размеры, чтобы наш стрелок почувствовал при наибольшем натяжении привычные 5кг.

Рис.74в

Рисуем характеристику, начнём с привычной точки 50см:5кг.

Математика\Рис.77

А где ноль усилий? Лук ведь должен иметь предварительное натяжение. Геометрически точка нуля немного дальше левой руки стрелка.
Пусть её примерные координаты будут -7.5см:0кг, рисуем точку и соединяем точки прямой линией.
Характеристика вышла более пологой, значит, этот лук получился слабее рогатки, мягкий, совсем игрушечный, но нас интересует площадь фигуры под линией характеристики на протяжении рабочего хода.
Рабочий ход опять начался не от левой руки. Лук имеет изгиб, и тетива оказалась, допустим, в 10см от рукояти лука. (Напомню, что лук совсем несерьёзный).
Усилие в этом месте составляет 3 клеточки, это 1.5кг по масштабу рисунка. По сути, это и есть значение усилия предварительного натяжения лука.
Штрихуем фигуру и определяем её площадь. Это трапеция.
Площадь её состоит из прямоугольного участка высотой 1.5кг и длиной 40см, и прямоугольного треугольника над ним, с короткой стороной 3.5кг и длинной стороной в 40см.
1.5кг*0.4м+3.5кг*0.4м/2=0.6+0.7=1.3Кгс*м=13Дж.
При КПД примерно 0.9 энергия стрелы 13Дж*0.9=~11.7Дж.
Мы взяли слабый лук, и при том же стрелке получили бОльшую энергию выстрела.
Рогатка 6Дж
Лук с преднатягом 11.7Дж


А где выигрыш от предварительного натяжения?
На рисунке появился прямоугольный участок - весь рабочий ход взведения усилие не опускалось ниже усилия преднатяга.
Усилие натяжения менялось лишь в пределах высоты треугольной части диаграммы.
Вот бы получить накопитель энергии с такой характеристикой, чтобы он на всём рабочем ходу сопротивлялся натяжению с постоянной силой?!
Да, это идеальная ситуация.
Как приблизить к ней конструкцию? Блоками.

Берём на лук вдвое более жёсткую ветку, устанавливаем блоки, для ослабления усилия на тетиве вдвое, и рисуем график.

Рим.75б

Основная точка на привычном месте - чтобы стрелок мог на полном натяжении получить ощущение пяти привычных килограммов. Рисуем график взведения тетивы, начинаем с точки 50см:5кг.

Математика\Рис.78

А дальше?

Дальше известно лишь то, что жёсткость/упругость нового лука вдвое сильнее. Угол наклона характеристики изменился, раньше на каждый сантиметр натяжения усилие натяжения росло на, допустим, игрек. А теперь?
Проверяем в уме. Через блок сантиметр хода лука соответствует теперь двум сантиметрам хода тетивы. При этом за один сантиметр хода нового лука усилие на нём выросло на два игрека, а на тетиве, за блоком, это снова один игрек прибавки к силе.

Получается, что раньше сантиметр хода тетивы увеличивал усилие на ней настолько, насколько сейчас за два сантиметра.
Отлично. Рисуем прямую влево.
Линия предыдущей характеристики на каждые 8 клеточек влево опускалась на 3.5 клетки вниз. Новая опустится на те же 3.5 за 16 клеток.
Где начать рабочий ход? Предыдущий лук был совсем игрушечный, расстояние от рукоятки до тетивы 10см. Пусть вырастет до 15, всё же, посерьёзнее механизм, ролики места требуют.
Новая линия проходит точку 15см на высоте 3.5кг.
Рисуем точку 15см:3.5кг и обводим отрезок до точки 50см:5кг.
Площадь фигуры под линией взведения опять состоит из прямоугольной и треугольной частей.
3.5кг*(0.5-0.15)м+1.5кг*(0.5-0.15)м/2=3.5кг*0.35м+0.75кг*0.35м=4.25*0.35=1.488=14.8Дж

Маловато. Не хватает силы преднатяжения, и потеряли часть длины рабочего хода на увеличении "высоты тетивы" (расстояние от рукояти до тетивы).

Да ещё КПД надо учесть: 14.88*0.9~13Дж. Но всё равно лучше, чем без блоков.

Подытожим:
Рогатка 6Дж
Лук с преднатягом 11.7Дж
Лук блочный 13Дж
А стрелок везде один, силы те же.

Выводы:
1) Предварительное натяжение добавляет энергии.
2) Блоки добавляют энергии.

----

А можно ли ещё больше увеличить запас энергии в накопителе, и как влияет количество блоков?

Давайте сразу будем моделировать самострел.
Кстати, на самом деле характеристика лука лишь похожа на прямую.
Математика\Рис.79

Она довольно кривая. Вычислять параметры лука довольно трудно:
Математика\Рис.7А

Математика\Рис.7Б

Поэтому инженеры делают лучше, берут лук, длинную линейку, динамометр/весы пружинные/цифровой безмен (у кого что имеется), и просто измеряют усилие, натягивая лук по сантиметрам.

Математика\Рис.7Ц А инженеры - измеряют.

Результат зависит от длины и всех поперечных размеров дуги лука, от длины тетивы, погоды и настроения, но он точнее и практичнее альтернатив.
Математика\Рис.7Д

Ну и принципиально всё же лук имеет кривую характеристики, подобную прямой, идущей по графикам слева вверх.

Нам этого будет достаточно для сравнительного анализа.

Построим виртуальный самострел. Он имеет лук, пружину, или другой накопитель энергии, мы будем определять влияние блоков на разгон снаряда.
Ход взведения тетивы (у самострела будет тетива) ограничен конструкцией, и не превышает 20см (мы делаем компактный самострел).
Допустим, что у нас взрослый стрелок, и он сможет тянуть тетиву с усилием до 25кг (для расчётов удобно и законов не нарушаем).
Жёсткость дуги такова, что на каждый сантиметр натяжения усилие растёт на один ... ну, пусть килограмм. На 10 Ньютонов.
Математика\Рис.80

Настроим самострел так, чтобы при полном натяжении (20см) усилие на тетиве равнялось 250Н (~25кг). Рисуем точку 20см:25кг.
Усилие росло по килограмму на сантиметр, значит, в начале рабочего хода преднатяг в 5кг. Рисуем точку 0см:5кг.
Площадь фигуры под характеристикой равна 50Н*0.2м+(200н*0.2м)/2 = 10+20=30Дж.

Добавляем в конструкцию один ряд блоков (х2), теперь на 1см хода накопителя требуется 2см хода тетивы. Накопитель меняем на вдвое более жёсткий.
Опять настраиваем так, чтобы при полном натяжении (20см) усилие на тетиве равнялось 250Н (~25кг). Рисуем точку 20см:25кг.
Математика\Рис.81

Усилие взведения росло по килограмму на два сантиметра хода тетивы. Значит, в начале рабочего хода преднатяг в 25кг-(20/2)кг=15кг. Рисуем точку 0см:15кг. Площадь фигуры под характеристикой равна 150Н*0.2м+(100н*0.2м)/2 = 30+10=40Дж.

Добавляем в конструкцию ещё один ряд блоков (х4), теперь на 1см хода накопителя требуется 4см хода тетивы. Накопитель меняем на вчетверо более жёсткий, чем в первом опыте.
Опять настраиваем так, чтобы при полном натяжении (20см) усилие на тетиве равнялось 250Н (~25кг). Рисуем точку 20см:25кг.
Математика\Рис.82

Усилие взведения росло по килограмму на четыре сантиметра хода тетивы. Значит, в начале рабочего хода преднатяг в 25кг-(20/4)кг=20кг. Рисуем точку 0см:20кг. Площадь фигуры под характеристикой равна 200Н*0.2м+(50н*0.2м)/2 = 40+5=45Дж.

Конструкция всё сложнее, прирост мощности всё незначительнее.

Добавляем в конструкцию ещё один ряд блоков (х8), теперь на 1см хода накопителя требуется 8см хода тетивы. Накопитель меняем на в восемь раз более жёсткий, чем в первом опыте.
Опять настраиваем так, чтобы при полном натяжении (20см) усилие на тетиве равнялось 250Н (~25кг). Рисуем точку 20см:25кг.
Математика\Рис.83

Усилие взведения росло по килограмму на восемь сантиметров хода тетивы. Значит, в начале рабочего хода преднатяг в 25кг-(20/8)кг=22.5кг. Рисуем точку 0см:22.5кг.

Площадь фигуры под характеристикой равна 225Н*0.2м+(25н*0.2м)/2 = 45+2.5=47.5Дж.

Пора обобщить:
Без блоков 30Дж
Блок х2 40Дж
Блоки х4 45Дж прибавка в 5Дж (+12.5% к 40)
Блоки х8 47.5Дж прибавка в 2.5Дж (+5.6% к 45)
...
Прибавка от дополнительных блоков всё меньше.
А ведь блоки не только приносят пользу, но и понемногу съедают Коэффициэнт Полезного Действия. Каждая пара блоков уменьшает КПД примерно на 1%.

Получается, больше двух блоков (двух рядов блоков) на х4 делать неоправдано.

Рис.83а Блок - КПД залог!

Зато даже от одного ряда блоков получаем прирост энергии и максимальной скорости снаряда - тетива ведь с блоком может двигаться вдвое быстрее, чем без него.

Мысль 4.3 Как облегчить конструкцию.
Есть и ещё польза от блоков. Разделяя систему тросов (тетиву) на части тяговую (у накопителя) и скоростную (у стрелы) блоками, мы уменьшаем силу, действующую на замок самострела.

Рис.5Б Коротенький рабочий ход и едва ли не пуд железной массы: 

Помните опыты древних изобретателей, с могучими рессорами и тетивой из арматуры? А ведь для таких чудовищных усилий и замок был нужен ломовой, и усилие спуска на нём требовало не спускового крючка, а длинного рычага.

Усм\Рис.83б Не спусковые рычаги, а спусковой крючочек:

В блочном самостреле на замке усилие не больше, чем может развить стрелок, поэтому и замок прослужит в бережных условиях, и спусковой механизм можно штамповать из тонких рычажков.

Но и это не вся польза от блоков :-)
Если выше вы могли ещё сомневаться, стоит ли полуторный выигрыш энергии снаряда усложнения самострела блоками, то теперь точно вас сумею убедить в их полезности.

Мысль 4.4 Как вложить ещё больше энергии.
Опять начнём с луков.

У лука рабочий ход тетивы ограничен длиной рук (оттянуть тетиву дальше, чем за собственное ухо, не разрешает анатомия человека, мышцам сложно так работать).
Математика\Рис.84

А ещё заметную часть хода тетивы отнимает конструкция лука.

Математика\Рис.85 У готового к выстрелу лука концы плеч примерно на уровне локтя руки. Перед натяжением они где-то посередине предплечья. Это потерянный рабочий ход тетивы.

Расстояние от рукояти на дуге лука до тетивы надо вычесть из расстояния от рукояти до уха - вот и получается доступный рабочий ход тетивы.

Математика\Рис.86

Можно ли его увеличить? Можно!

Наши предки ради этого придали луку сложные изгибы, и тетива приблизилась к ручке ... максимально.
Лук\Рис.86 Луки "прямой" и "рекурсивный":

Лук\Рис.87 Лук предков, "тугой, разрывчатый", версия иностранная, современная:

Чтобы получился ещё больший рабочий ход тетивы, лук пришлось бы развернуть тетивой от себя. Но его тогда усилием при натяжении вывернет из руки.
А вот если на самостреле лук закрепить тетивой/изгибом от себя, то не вывернет!
Обратный\Рис.88 Блочная конструкция позволяет разместить лук хоть прямо, хоть наоборот:

Обратная дуга не отнимает у самострела рабочий ход тетивы, а добавляет.

Обратный\Рис.89 Рабочий ход тетивы начинается прямо у "дульного" среза:

Больше ход тетивы - на большем пути тетива разгоняет снаряд - большую энергию самострел вкладывает в выстрел.

Обратный\Рис.8А Рабочий ход - вся длина планки.

Мысль 4.5 Как уменьшить габарит.
Опять вспоминаем о блоках :-)
Блок удваивает ход тетивы, и вдвое уменьшает ход плеч лука.
При ходе тетивы 40см ход плеч без блока будет до, допустим, 20см (тетива симметрично же к плечам дуги прикреплена), а с блоком 10см.
Рис.8Б

Блок уменьшает ход плеч дуги настолько, что больше нет необходимости размещать её поперёк самострела.

Рис.8Ц Компактно получилось, хотя бывают и ещё компактнее:

Плечи дуги можно разместить вдоль самострела. Он теперь по ширине едва в половину своей длины.

Рис.8Д Широкий самострел с прямым луком:

А ведь классические самострелы были широкими, размах плеч дуги мог быть равен длине оружия.

Усм\Рис.42б

Ну вот мы пришли к выводу, что хороший самострел должен быть блочным - с соотношением 2:1 или 4:1.
А если он не пружинный, а лучный, то есть смысл закрепить плечи в обратную сторону и повдоль.

Рис.8Е

Окончание тут