Пробиваем пространство правильно (часть 2)

В прошлой части мы остановились примерно на 1920-х годах в терминах теории и примерно на 1970-х в терминах эксперимента. Что же произошло в эти даты? Создание и общественное признание соответственно ОТО. Здесь мне придется сделать довольно пространное лирическое отступление от статьи Виссера и коллег, которая писалась для людей, уже находящихся в курсе актуальной физики 2000-х. Иначе далекий от современной науки читатель рискует в принципе не понять дальнейший разговор.

Накой нам нужна ваша ОТО

Если коротко, преобразования Лоренца хорошо описывали переход между абстрактными ИСО (инерциальными системами отсчета), которые уже движутся равномерно и прямолинейно, но в жизни чтобы что-то двигалось, его надо сначала разогнать. СО, движущаяся с ускорением, инерциальной не будет. Почему важно, что произойдет в этот момент? Гуглите «парадокс близнецов».

Вот сели вы в релятивистский звездолет, чтобы слетать к Проксиме и обратно, а ваш братюня дома ждет. С точки зрения братюни, течение времени для вас замедлилось (см. приведенные в прошлой части формулы) и вы вернулись молодым. Но в СО, связанной со звездолетом, это вы неподвижны, а все вокруг разгонялось. С вашей точки зрения замедлился как раз братюня. Кто же будет прав в реальности? Логично, что братюня, т.к. подвергались истиному ускорению под действием силы тяги тут вы. Именно для себя нарушая симметричность систем отсчета, а не для всей остальной Вселенной. Альтернативный ответ просто убивал бы саму идею причинно-следственных связей. Но из преобразований Лоренца это никак не выводится. Они индифферентны к тому, кто разгонялся на самом деле, и дают свой результат независимо от предыстории системы. Чтобы сохранить единственность истории и причинно-следственные связи, Вселенная должна как-то запоминать, кто именно подвергся воздействию силы. Для этого надо как-то ввести в чисто кинематическую СТО не предусмотренную в ней динамическую силу. И это означает, что видимое вам со звездолета отстающее старение братюни — всего лишь иллюзия, которая развеется, стоит вам уравнять с ним скорости.

Напомним условия предыдущей части, из которых математически выводится инвариантность С:

1) Однородность, изотропность и эвклидовость пространства.

2) Однородность времени. 

3) Принцип относительности.

4) Единственность истории Вселенной.

Ой, это что, получается, что ИСО не равноправны? И есть какая-то выделенная, первоначальная, не подверженная замедлению времени, относительно которой разгонялись и тормозили все?

Есть и более повседневные проблемы. Гуглить парадокс Эренфеста. Релятивистские звездолеты, в конце-концов, не каждый день летают, но очень многие тела прямо сегодня вращаются вокруг своей оси, двигаясь при этом с центростремительным ускорением. Земля, например. Рассмотрев СО вашей лаборатории с позиции космического мимокрокодила мы обнаружим, что она находится на вращающемся шаре... а значит испытывает лоренцево сокращение длины вдоль окружности, по которой движется... но вот вдоль радиуса такого сокращения не испытывает... а значит число пи, измеренное в вашей лаборатории на примере конкретно вашей окружности, не соответствует измеренному для нее же космическим мимокрокодилом... а значит ваша лабораторная СО не только неинерциальная, но еще и пространство в ней неэвклидово. А что тогда вообще «эвклидовость» пространства, и в какой выделенной СО ее мерить?

Кроме того, построенная как принципиально векторная теория над электромагнетизмом СТО плохо описывала скалярную гравитацию. Уравнение Пуассона ∆ф = f, описывающее гравитационное поле, не лоренц-инварианто. Дело снова пахнет выделенной СО (см. «акустические гномики» из прошлой части, и, кстати, теперь понятно, почему у многих фантастов середины ХХ века гравитация распространялась быстрее света). Прямо и грубо ввести гравимагнетизм в интересах симметрии не получится из-за принципиальной разницы гравитационного «заряда» с электромагнитным: одноименные притягиваются. При грубом переложении окажется, что гравимагнитная волна имеет отрицательную энергию. Не очень физичный результат, казалось бы.

О чем была ОТО

В общем, СТО оказывалась теорией... не совсем относительности. Чтобы исправить ситуацию, требовалось убить двух зайцев. Желательно — одним выстрелом. Благо инерциальная (та, которая мера способности тела ускоряться под действием силы) и гравитационная (та, которая мера способности притягиваться к другим телам) масса оказались экспериментально равны с очень высокой точностью, и это звучало как толстый намек. Не менее толстый, чем необнаружимость жидкости для электромагнитных волн.

Ожидаемый выстрел сделал Эйнштейн же (не один, там было несколько переписывающихся коллег, но запомнили именно его), и суть была в отказе от тезиса (1) — однородного эвклидова пространства. Ключевая гипотеза ОТО заключается в переходе к псевдоримановой геометрии, который меняет все. Эвклидово пространство — то, которое описывается известными со средней школы аксиомами Эвклида. Риманово пространство — то, которое состоит из множества бесконечно малых пространств, каждое из которых эвклидово, но в каждом из которых своя метрика (способ определить длины кривых, углы между ними и объем), плавно меняющаяся при движении в сторону, в силу чего риманово пространство в целом не обязано являться ни эвклидовым, ни однородным, ни изотропным. Хотя может и являться: эвклидово пространство — частный случай риманового с везде одинаковой метрикой. Идея та же, что при переходе к дифференциальному счислению.

И здесь я понял, с какой проблемой сталкиваются все попытки популяризации. Короткая запись уравнения Эйнштейна выглядит так:

Она связывает метрику (в левой части, g — сама метрика, R с индексами — вариационная производная кривизны, R без индексов — их свертка) с создающим ее пространственным распределением энергии-импульса (стоит в правой части). Выглядит как одна строчка, но в действительности так записана система из 10 нелинейных уравнений в частных производных. Вариационную производную дают на 2 или 3 курсе института, и то не всем. Примерно тогда же объясняют, что такое свертка. Дифференцировать векторные поля даже в эвклидовом пространстве — сложно. Дифференцировать их на римановом многообразии... ну, именно проблемы с этой математикой задержали появление ОТО на 10 лет, так что...

В то же время, уравнения Лорнеца не используют никакой математики, кроме изучаемой в начальной школе. Там даже дифференцирования нет. Поэтому их относительно легко может вывести руками современный пятиклассник, при условии, конечно, что ему объяснят используемые физические концепции (1-4). Неудивительно, что понимание относительности большинством обывателей не простирается дальше преобразований Лоренца.

Поэтому акцентирую внимание на предпосылках такого вывода:

О1) Пространство-время псевдориманово (см. выше);

О2) Его кривизна создается распределением по нему энергии и импульса физических объектов;

О3) Движение тела, находящегося под действием только гравитационных сил происходит вдоль геодезических линий. Свет тоже распространяется по геодезическим.

Геодезические линии на поверхности элипсоида. Как можно видеть, глобально ни фига не прямые.

Сложнее всего тут понять, и именно с этим проблема у группы Б, что такое геодезическая линия. Это обобщение понятия «прямая линия» для искривленного пространства. Кривая на многообразии, такая, что любая ее достаточно малая дуга является кратчайшим путем между своими концами. Такая геометрическая формулировка отражает физический принцип наименьшего действия из теормеха. Ферми как-то в шутку сформулировал его буквально: «природа ленива».

Из основного все. В той же статье про ОТО на Википедии изрядно покакано: в принципы насыпано чего-то дополнительного и размытого, некоторые задублированы, а еще отметились отрицатели ОТО. Однако, понимая эти три предпосылки и владея высшей математикой вы гипотетически могли бы вывести приведенное выше уравнение Эйнштейна.

Совсем простая формулировка для чайников: Длина метра и продолжительность секунды могут плавно меняться от точки к точке. Метрический тензор описывает, как именно они меняются. Все это вместе называется «кривизна пространства-времени». И очень хорошо объясняет гравитацию, которой подвластен даже свет. И не только ее. Для становления ОТО общепринятой потребовалось полвека, в которые выяснилось, что она предсказала много нетривиальных феноменов. И по сей день сохраняет статус наиболее экспериментально подтвержденной теории за всю историю науки.

Как и почему ОТО отменяет запрет на сверхсвет

Итак, ОТО жирно перечеркивает глобальную инвариантность С. Поскольку из четырех предпосылок этого математически строгого вывода (1-2) оказались просто не имеющими отношения к реальности, в которой мы живем, (3) получила значимые уточнения, а (4) работает только в слабой формулировке, которая буквально про порядок двух событий, произошедших в одной точке. Пошлете вы во все стороны лучи света во имя синхронизации часов, а как они пошли? См. (О3). Локально ничего не меняется, но если смотреть со стороны, синхронизация вдоль прямых линий давала вам световой конус, а синхронизация вдоль геодезических может дать что угодно, набор возможных ответов ограничен лишь тем, насколько лихо закручено многообразие (О1). То есть, особенностями пространственного распределения энергии-импульса(О2). То есть, т.н. «релятивистская инженерия» легко может описать системы, движение в которых со стороны покажется сверхсветовым, хотя локально таковым не является и лоренц-инвариантности не нарушает.

А природа дает нам наблюдаемый пример такой системы. Скорости убегания галактик за горизонтом Хаббла являются сверхсветовыми в том смысле, что космология (почти как астрономия в целом) естественным образом привязана к выделенной виртуальной «плоской» СО, связанной с Большим Взрывом как точкой отсчета времени и Землей как точкой отсчета координат. В такой СО они глобально сверхсветовые. Это не означает, что галактики физически обгоняют свет сейчас или когда-либо. Физический смысл С все еще физичен, вы все равно не можете обогнать свет ни в какой точке своей траектории. Просто сама скорость света, пришедшего к нам от них, будучи измерена глобально, окажется не равна С.

Да, две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со сверхсветовой скоростью, не имеют физического смысла. Однако в псевдоримановом пространстве в принципе не имеет физического смысла «скорость удаленного тела относительно наблюдателя». Из инвариантности локальной С в псевдоримановом пространстве неизбежно следует неопределенность глобальной С и отсутствие физического смысла у глобальных преобразований Лоренца.

Распространенная и принципиальная ошибка людей, знающих про ОТО из «перепева Рабиновича», — представлять ее как некую гравитационную надстройку из больших страшных тензоров над простым и понятным пространством Минковского. В действительности это пространство Минковского является абстракцией, математически отражающей достаточно малый, чтобы избежать заметных вариаций метрики, кусок реального. Вы спросите, что это за фигня такая, что СТО одновременно приближение больших скоростей и малых расстояний? А я вам отвечу, что есть раздел физики, где такое приближение буквально напрямую выполняется: ФЭЧ. Элементарные частицы движутся с релятивистскими скоростями, наблюдаются и взаимодействуют на малом расстоянии, их гравитационной массой можно пренебречь => СТО работает идеально.

Касательно же обобщения на космос, просто процитирую уже русскоязычную, но старую, статью Зельдовича:

Искусственный, формальный характер метрики Минковского виден уже из того, что распространение света при наличии тяготения происходит не по нулевым геодезическим плоского мира Минковского, а по нулевым геодезическим метрики искривленного мира. Другими словами, конус причинности определяется метрикой искривленного мира, а не плоского. При этом конус причинности и мировые линии реальных тел могут располагаться как внутри, так и вне светового конуса, формально определяемого метрикой Минковского. В таких условиях попытка интерпретации метрических соотношений плоского мира в качестве наблюдаемых означала бы признание того, что в реальном физическом процессе причина и следствие могут поменяться местами.

Проще говоря, как раз попытка группы Б привязывать реальные процессы к несуществующему «плоскому пространству» и нарушает причинность. Настоящий интервал, удовлетворяющий принципу минимального действия, может отличаться и будет отличаться от экстраполированного виртуального «плоского». Физический световой конус не обязан иметь форму конуса.

Еще проще: Если попытки применить формулы СТО без изменений в криволинейных координатах легко и неизбежно ведут к абсурду, это проблема пытающегося так и должно быть. Пространство, кривизной которого нельзя пренебречь, находится за границами применимости СТО.

Совсем просто: Вам приведена цитата, где Зельдович разрешил сверхсвет в глобальном смысле.

Часто повторяемый тезис о конусе причинности, который выглядит как конус, и интервале, где не стоит буква d, а тупо вычитаются координаты, суть попытка интерпретации метрических соотношений плоского мира в качестве наблюдаемых и отрицание ОТО. В следующий раз, когда к вам в комментарии придет Некрасов называть БЧС-ложцем, отвечайте: Зельдович разрешил.

Однако, возрадовавшейся группе А еще предстоит осознать, что именно (а не ваш любимый вжух) разрешил Зельдович. В части 3. Покамест объясню принцип на простом примере, который:

1) Тривиален для понимания;

2) Описывает точно физически реализуемую систему;

3) Да, не подходит для практического применения в силу крайней малости, но пока важнее понять принцип.

Речь о примере, из-за которого вообще началась пересказываемая статья. Так что, конец лирического отступления.

Эффект Шарнхорста

Основан на вакууме КЭД (квантовой электродинамики), который наполнен виртуальными частицами, за счет чего подвержен эффекту Казимира (гуглить), если заключить его между двумя параллельными пластинами, приближенными на расстояние, много меньшее, чем размер пластин. Тогда пластины будут притягиваться, являя собой физический пример отрицательной плотности энергии. В 2001 году это был чисто теретический концепт, однако уже началась серия точных экспериментов, которая в первой половине 10-х приведет к подтверждению существования эффекта. Пока что — Казимира. Эффект Шарнхорста — величина намного меньшего порядка, до его экспериментальной проверки ещё далеко. Идея в том, что если в вакууме Казимира меньше виртуальных частиц, то и вероятность фотону с ними столкнуться меньше. Механизм по сути похож на преломление в среде, которое наблюдается повсеместно.

И да, любое преломление ведет к мягкому нарушению Лоренц-инвариантности. Мягкому потому, что отличие скорости света в среде от С сопровождается появлением выделенной системы отсчета, где эта среда неподвижна. Однако, во всех остальных известных случаях речь шла об уменьшении скорости света. А вакуум Казимира — среда, где показатель преломления меньше единицы. Тоже, в общем-то, не в первый раз. Известны (и даже используются в рентгеновских телескопах) случаи, когда показатель преломления для сверхмалых длин волн меньше единицы. В силу чего, например, возможно полное внутреннее отражение при падении света на вещество из вакуума. Но эффект Шарнхорста уникален и тут. Во-первых, он получен в приближении больших длин волн. Во-вторых, речь идет не о фазовой, а именно о групповой скорости. Той, с которой передается информация. Поэтому КЭД, тоже очень хорошо подтвержденная теория, казалось бы, начинает противоречить СТО.

На самом деле, не начинает. Как мы уже знаем из предыдущей части, сам по себе сверхсветовой сигнал кинематически совместим с СТО. Несовместимо только его использование для синхронизации часов. Но в данном случае оно и невозможно, поскольку две пластины, между которыми возникает эффект, формируют выделенную систему отсчета, тем самым нарушая однородность и изотропность пространства. Исчезает предпосылка (1), в очередной раз показывая, что СТО это абстракция, описывающая не реальность как она есть, а удобное для решения некоторых задач приближение к ней.

В разделе 3.2.1 авторы статьи представляют метрику псевдориманова пространства, эквивалентную ситуации двух условно бесконечных пластин, создавших между собой эффект Казимира. Приводить здесь математику совсем бессмысленно, потому что вряд ли кто-то из читателей разберется в тензорах. Подчеркнем лишь то, что: 

- из нее получена скорость света с точки зрения внешнего наблюдателя (волновая и фазовая);

- волновая всегда больше С, в любой внешней системе отсчета;

- но при этом всегда разная, что закономерно не позволяет использовать ее для синхронизации часов.

Представителям группы Б предлагается в ожидании части 3 подумать и рассказать в комментариях, как эта метрика может быть превращена в машину времени.

Потому что именно обсуждению причинности в ОТО в целом и эффекте Шарнхорста в частности, а также при чем тут гипотеза Хоккинга о защите хронологии, будет посвящена третья часть статьи.