Пробиваем пространство правильно (часть 3)

В прошлой части мы узнали, что в ОТО прямая — не кратчайший путь между двумя точками, световой конус — не конус, и мировые линии реальных тел могут располагаться как внутри, так и вне светового конуса, формально определяемого метрикой Минковского. Посредством чего ОТО снимает запрет на сверхсвет. Зельдович разрешил.

Закончили на примере тривиальной и точно физически реализуемой сверхсветовой метрики (эффект Шарнхорста). И разумеется в комментариях появились люди с вопросами «но как же причинность, но что же с дедушкой»?

Так сказали бы любители квантовой механики с их «никакой интерпретацией». Заткнись и считай.

Любители ОТО — люди более культурные, поэтому в статье, которую я начал переводить, разбирается этот вопрос тоже. В первой части разбор того, что именно запрещено в СТО, содержал некоторое колличество призывов «запомнить на будущее». Будущее наступило, вспоминаем.

Почему мы вообще решили, что можно убить дедушку?

Чисто кинематические аргументы, основанные на постулатах

1) Однородность, изотропность и эвклидовость пространства.

2) Однородность времени.

3) Принцип относительности.

4) Единственность истории Вселенной.

приводят к существованию инвариантной скорости. Экспериментально выясняется, что она совпадает со скоростью света, если пользоваться нашими измерительными приборами. Однако, само по себе существование сверхсветовых сигналов не противоречит этому, если их нельзя использовать для синхронизации часов физически приемлемым способом. С кинематической точки зрения ничто не мешает рассмотреть модель четырехмерного пространства-времени, описанного метрикой Минковского

η = −c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

, в которой частицы могут распространяться по пространственноподобным, времениподобным и нулевым (светоподобным) кривым. СТО способна описать сверхсветовое распространение сигналов. Надо только оговориться, что существуют физические соображения, препятствующие формированию стабильных тахионов. Такими фантазиями, кстати, тоже занимались. Например, существовала модель в теорполе, описывающая частицы с мнимой собственной массой, но каноничной кинетической энергией. И вот за счет кинетической энергии они не могли быть использованы для сверхсветовой передачи сигнала, хоть и двигались сами по себе быстрее света. Но это квантово-механический укур, сегодня не про него.

Почему тахионы обычно связывают с временными парадоксами? Потому что если события Е1 и Е2 разделены пространственноподобным интервалом, то всегда можно найти три системы отсчета так, что в первой Е1 происходит после Е2, во второй — Е2 после Е1, а в третьей они вообще происходят одновременно. Звучит странно, но вполне закономерно следует из определения инвариантной скорости. Вы узнаёте, что события произошли, в момент прихода света от них, и именно момент прихода связываете с событием. А система отсчета может двигаться навстречу тому или иному свету. Классическая иллюстрация принципа — «поезд Эйнштейна». Но популяризаторы придумывают и более кровожадные эксперименты со всякими бомбами-дуэлянтами.

Разумеется, если мы рассмотрим систему координат движущегося в другую сторону наблюдателя, события в ней будут происходить в другом порядке. Закономерен вопрос: «Если все системы отсчета равны, то какая история Вселенной настоящая?»

Очевидно (но не для группы Б), относительность одновременности ставит под угрозу единственность истории Вселенной только в случае, если в любой системе отсчета единственным критерием наличия причинно-следственной связи между Е1 и Е2 является то, какое из событий произошло раньше. Однако, в жизни причина и следствие обычно не определяются таким образом. Четких определений вообще не существует, но если говорить о других разделах физики, наиболее похожее — «стрела времени» из термодинамики. Она же «закон неубывания энтропии». Для любых физических процессов есть направление, в котором они идут сами собой, развиваясь от более упорядоченного состояния к менее упорядоченному. Световой конус, выглядящий как конус, позволяет удобно выделить зоны абсолютного прошлого и абсолютного будущего, а вот между ними находится зона неопределённости... от которой проще всего избавиться, исключив взаимодействие с тахионами.

Убить дедушку без регистрации и смс

В псевдоримановом пространстве ОТО выделенного направления времени нет. Во всяком случае, его не возникает естественным образом. Поэтому подход с конусом будет работать только до тех пор, пока зона будущего случайно не пересечется с зоной прошлого. Что, в принципе, не запрещено теорией. Как толковать энтропию такого процесса? Если вы ученый — вопрос интересный и активно обсуждаемый.

Если вы писатель — так же, как и глобальную скорость. Энтропия удаленного процесса в СО наблюдателя не имеет физического смысла. Если, двигаясь с околосветовой скоростью, вы увидели, как мама рожает кого-то обратно, это оптическая иллюзия. Все равно для продолжительного взаимодействия с чьей-то мамой надо находиться в ее локальном пространстве и уравнять скорости.

Однако, такое толкование все еще требует, чтобы существовала хотя бы одна система отсчета, в которой причина Е1 произошла раньше следствия Е2. Физически связанная с ними. Такова ускользающая от группы Б разница между сверхсветовым путешествием, при котором оптические иллюзии не более значимы, чем джетлаг, и физической машиной времени. В случае последней, инверсия временного порядка касается событий, происходящих в одном и том же месте. Именно это является условием замкнутой времениподобной кривой (далее СТС, Closed Timelike Curve). Кривая должна таки замкнуться полностью, не только по пространству, но и по времени тоже.

В статье приведена концептуальная схема такой кривой, на которую любители парадоксов наворачивают убийства, дуэли и взрывы. «Тахионный анти-телефон».

В нашей системе отсчета К Е0 — событие излучение тахиона в момент времени t0, Е1 — приема и переизлучения обратно в момент t1, Е2 — приема в точке старта в момент t2. Преобразования Лоренца заведомо позволяют сжать время и пространство так, что в новой системе отсчета K’, имеющей то же начало координат t0′ = t0, будет t1′ < 0. Получается, что если K’ это СО приемника, в ней тахион на участке E1 → E2 двигался вперед во времени. А в К — назад. Правда, для этого тахион и в приемник должен прилететь из будущего приемника, за руками я слежу. Но его же можно разогнать до той же скорости в K’, до которой он был разогнан в К? СО же равноправны?

Если да, получается, что t2 < t1 в собственно системе отсчета К, связанной с первым передатчиком. Кривая замкнулась.

Как ОТО позволяет ислючить убийство дедушки

Из описания в принципе очевидно, как избежать замыкания. Для парадокса надо не только чтобы тахионы существовали, но и чтобы в произвольной СО их можно было отправить назад во времени. Чтобы избежать такой возможности, достаточно предположить существование выделенной СО, в которой скорость тахионов фиксирована положительной. Да, инвариант это С и второму не бывать. Не может быть так, чтобы скорость тахионов была во всех СО одинаковой. Но может быть так, чтобы она была одинаковой в какой-то выделенной СО. Тогда вы не можете разогнать тахион в К’ до той же скорости, что и в К, если сами системы движутся с разными скоростями в этой выделенной. Это может показаться расходящимся с самой идеей относительности, но когда мы от математических абстракций СТО переходим к объектам реального мира, нарушения лоренц-инвариантности закономерны (см. «о чем была ОТО»). В конце-концов, никто не докапывается за лоренц-инвариантность к гидродинамике, где скорость звука определена относительно неподвижной жидкости. Если у вас есть хорошие физические причины для выделения конкретной СО, ограничение имеет физический смысл.

Например, в эффекте Шарнхорста закономерным образом возникает выделенная СО, связанная с пластинами, создающими вакуум Казимира. А в любой системе «стационарных» червоточин их концы формируют выделенную СО. Поэтому «загадка от Шляпника Некрасову» сформулирована именно так:

Кстати, раз пошла такая пьянка, не расскажете ли, как кольцо односторонне проходимых червоточин может быть использовано в качестве машины времени, при условии, что:

1) Время прохождения через каждую из этих червоточин с точки зрения внешнего наблюдателя, находящегося в системе отчета любого конца любой червоточины - всегда положительное и конечное (не бесконечно мало).

2) Это время пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием между входом и выходом в световых годах.

3) Ни одна пара концов червоточин не движется друг относительно друга со скоростями, превышающими по порядку величины 100 км/с (на момент использования в качестве машины времени).

4) Чтобы войти в червоточину, надо уравнять скорости с ее входом с погрешностью не более километра в секунду.

Условие 1 фиксирует распространение тахионов в группе физически выделенных СО. Условие 3 фиксирует эти СО друг относительно друга. Условие 2, собственно, говорит о сверхсветовом путешествии. Условие 4 исключает прохождение червоточины без привязки к ее СО. С какой стороны ни посмотри, будет так

Да, в системе К’ мы все еще метнулись в прошлое на участке E0 → E1. Но вот на участке E1 → E2 двигались в будущее, причем с опережением графика, компенсирующим провал. Все события происходят с телами, чьи скорости в системе К пренебрежимо малы. С их собственной точки зрения сигнал распространялся только в будущее, а мнение релятивистского мимокрокодила никого не волнует. Релятивистский мимокрокодил вообще много интересных оптических иллюзий наблюдает.

Но что если выделенных систем отсчета больше одной? Не создаст ли это само по себе парадокса? Понятно, что проходя через червоточину вы не меняете своей внутренней структуры, точно так же, как частица в зоне эффекта Шарнхорста не становится физически тахионом. Под тахионом в вышеприведенных рассуждениях понимается исключительно математическая абстракция сверхсветовой передачи информации, а под «выделенной системой отсчета» — неоднородность пространства, обеспечивающая эту передачу. Для рассуждений не важно, чем конкретно они являются, лишь бы свойствам удовлетворяли.

Какой должна быть сеть неоднородностей, допускающая FTL, но не СТС

Так вот, предположим существование двух неоднородностей, где c_light > С, движущихся относительно друг друга со скоростью v_relative. Согласно переводимой статье, риск нарушения причинности возникает при

v_relative * c_light > c^2 (*)

Это выводится из преобразований Лоренца для временной координаты, примененных к путешествиям туда и обратно. Конечно, для «свободного вжуха» из любой точки в любую на выбор оператора невозможно заранее предсказать относительную скорость входа-выхода и понять, до какой можно будет разогнаться. Но если неоднородности — это сеть входов и выходов в «стационарные» червоточины... то вы теперь понимаете, откуда в «загадке Шляпника» магическое число 100 км/с. Это хорошая верхняя граница для относительных скоростей соседних звезд галактического диска. Она в 3000 раз меньше, чем С. Соответственно, допускает ужатие временных затрат на межзвездные путешествия до 3000 раз без любых вопросов к причинности. В световом году чуть меньше 9000 часов. Со скоростью, в 3000 раз превосходящей световую, вы будете у Проксимы через полдня с копейками с точки зрения внешнего наблюдателя. Можно больше, если внутри червоточины вы движетесь не с локальной скоростью света. Но даже половины месяца вполне достаточно для вашей маленькой игрушечной космооперы.

Но это нулевое приближение. На самом деле, если посмотреть на диаграмму внимательнее, окажется, что для возникновения парадокса «тахионного анти-телефона» вся замкнутая времениподобная кривая E0 → E1 → E2 → E0 должна полностью лежать внутри обеих неоднородностей. А пересекающиеся червоточины (или пересекающиеся пластины с вакуумом Казимира) — это уже совсем другая метрика, более сложная, чем нужна просто для превышения скорости света с точки зрения внешнего наблюдателя. В ней мы сталкиваемся с краевыми эффектами, делающими метрику совсем уж непохожей на плоское пространство Минковского, в силу чего, наивному результату, полученному выше, уже нельзя доверять. Область, содержащая кривую E0 → E1 → E2 → E0, одновременно подчиняется двум различным и несовместимым эффективным метрикам, поэтому логика, которая на первый взгляд кажется приводящей к инверсии событий во времени, на самом деле становится внутренне противоречивой.

Здесь в чат врывается широко известный в узких кругах Стивен Хоккинг, решавший похожую задачу. Он определил причинно-стабильное пространство-время (П-В) следующим образом:

П-В называется причинно-стабильным тогда и только тогда, когда обладает лоренц-инвариантной метрикой g_µν (см. часть 2) и глобально определенной скалярной функцией t такими, что ∇_µ t (дивергенция это сумма частных производных по трем координатам, — НАП) всюду ненулевая и времениподобная относительно g_µν.

Проще говоря, существует хоть какой-то способ глобально определить время, которое локально всегда идет вперед.

И доказал теорему:

Причинно-стабильное П-В не может содержать ни замкнутых времениподобных кривых, ни замкнутых нулевых кривых.

То есть, релятивистский мимокрокодил остается за бортом. Если в вашей метрике есть «глобальное время», которое всегда идет вперед, физическую машину времени она не обеспечит.

Эта теорема гарантирует отсутствие парадоксов в описанной выше сети. П-В, наделенное метрикой Минковского вне неоднородностей и искривленное только внутри них позволяет легко определить скалярную функцию, удовлетворяющую условию теоремы, как время в СО, к которой физически привязаны неоднородности. Пластин — для эффекта Шарнхорста, входа-выхода — для червоточины, удовлетворяющей условию (*). 

Очевидно, что если речь о сети односторонне проходимых червоточин с узлами, где мы летим от одной к другой через обычное пространство, мы можем гладко менять функцию, переключаясь между ними. Поэтому условие (*) достаточно соблюсти для концов одной червоточины. Конкретно у Проксимы лучевая скорость ~22 км/с, что позволяет вам двигаться быстрее еще в 4-5 раз. Уж трех-то часов точно достаточно для любых литературных потребностей. Особенно учитывая, что в реалистичной космоопере вам, скорее всего, до самой червоточины дольше пилить.

Таким образом, систему межзвездных путешествий моего «Чарийского цикла» — Хоккинг разрешил. Она соответствует современным научным представлениям, что, возможно, лет через сто станет поводом для теорфизического аналога «датировки по электронике».

И, в целом, большинство сетей заранее проложенных «сверхсветовых рельс» строго между звездными системами Хоккинг разрешил. В том числе, рельс, включающих пятачок «подпространства», на котором допустимо свободное движение между входами-выходами. Увы, с популярным в 90-е пузырем Алькубьерре без рельс ситуация сложнее. Как и со всеми вариациями на тему «свободного сверхсвета» системы «мне плевать на всех, стартую где хочу». Они из под парадокса скопом не выводятся, надо разбирать конкретный случай. Но теперь вы знаете, в каком направлении двигаться.

А кому должна?

Конечно, при большом желании можно нарушить условие (*) и сделать червоточину такой, чтобы к ее концам выделенная СО не привязывалась. В смысле, таким образом, чтобы претендовать на глобальность. Основные способы известны еще с 80-х. Это движение входа и выхода с релятивистскими скоростями друг относительно друга во время работы червоточины — или помещение их в области с существенно разными гравитационными потенциалами. Если вы хотите поставить философский вопрос о природе пространства и времени как ученый или как писатель, принципиального запрета ОТО не содержит, развлекайтесь. Если же вы придерживаетесь более реалистичного подхода, и почему-то не видите вокруг толпы гостей из бесконечного будущего, разумно предположить существование физических соображений, которые нарушат проходимость червоточины, подвергнутой таким процедуркам.

Хоккинг, помимо доказательства теоремы, предложил конкретные физические соображения на роль «защитника хронологии». И эти соображения можно по аналогии применить к ситуации с формированием сети неоднородностей. Идея в том, что формируется-то она не сразу. Если две неоднородности причинно-стабильного П-В, изначально возникшие так, чтобы не нарушать условие (*), сближаются так, чтобы формировать замкнутую времениподобную кривую, они сначала сформируют замкнутую нулевую кривую. И ее появление приведет к сингулярности в плотности энергии вакуумных флуктуаций. Потому что виртуальные частицы, путешествующие по такой кривой, будут встречаться сами с собой бесконечное множество раз, и пройзойдет когерентное усиление. Как в лазере, только обладающем бесконечной мощностью. Из предыдущей части мы помним, что метрический тензор связан как раз с плотностью энергии. Поэтому проходимая червоточина должна коллапсировать в непроходимую прежде, чем станет СТС. Это явление называется «хронологический горизонт событий».

Так что, актуальная наука конца 00-х (когда я начал придумывать мир Чарийского Союза) разрешала сделать из сети проходимых червоточин «сверхсветовую железную дорогу», но запрещала — машину времени. К сожалению, по второму пункту это уже не совсем так. Включая в свои произведения элементы ОТО, помните, что вы находитесь на стройплощадке. Модель «хронологического горизонта событий» в настоящее время оспаривается, и наиболее категоричная формулировка (более категоричная, чем приведенная здесь) отвергнута. Как следствие, возможность создания машины времени из сети червоточин — дискуссионный вопрос, но ее в любом случае надо будет специально создавать нарушающей условие (*).

Но как писатель научной фантастики вы можете строить любые разумные гипотезы о развитии науки в будущем. Главное чтобы они не совсем уж отвязывались от ее современного состояния.

P.S. Уже когда задумка этого цикла по статье 2008 года сформировалась, мне скинули статью с развитием темы. Поскольку мы на стройплощадке, и сильная защита хронологии вроде как опровергнута, никто не мешает пойти убийцам дедушек навстречу, предположив, что СТС таки существуют. Вот люди и пошли разбираться с энтропией в таких условиях. И вроде разобрались. Фактически, это матаническая альтернатива принципа самосогласованности, оставляющая локальную свободу действий, не очень простая для понимания, но очень хорошая для хронофантастики. Возможно, покурив эту статью я сделаю перевод-популяризацию и ее тоже, что означало бы грядущую часть 4.