Принцип цикла узла(математикам)

Постановка.

В термодинамике чёрных дыр, AGN feedback, звёздной эволюции и тектонике планет наблюдается общая структура: устойчивые гравитационно связанные объекты существуют как процессы непрерывного обмена со средой, с нетривиальными нижней и верхней границами этого обмена. Существующие описания разнесены по дисциплинам и не имеют общего формального языка. Цель — сформулировать принцип, из которого эта структура следует как теорема.

Определения.

Узел — локализованная конфигурация в среде с градиентом, имеющая характерное время существования, существенно превышающее время релаксации среды.

Для узла определены:

P_in(t) — поток энергии из среды в узел. P_out(t) — поток энергии из узла в среду. E_held(t) — накопленная величина, dE_held/dt = P_in − P_out. S(τ) — кумулятивный след узла в среде. η = ΔE_out / E_held — безразмерная эффективность канала отдачи за один акт перестройки.

Принцип цикла.

(1) P_in > 0 и P_out > 0 на временах существования узла.

(2) Существует диапазон [r_min, r_max] для отношения r = P_out/P_in, в котором узел устойчив. Вне диапазона — режимы коллапса (r < r_min) или диссипации (r > r_max).

(3) Существует верхний предел η_max, диктуемый структурой границы между узлом и средой. Для гравитационного узла с горизонтом Шварцшильда в 4-мерном пространстве-времени η_max = 1 − 1/√2 ≈ 0.293, до 0.5 с предельным вращением. Следует из условия неубывания площади горизонта (Хокинг, 1971).

(4) След S одних узлов служит входом P_in для других. Сеть узлов устойчива, если условия (1)–(3) выполняются для каждого узла одновременно.

Эмпирическая база.

Принцип согласуется с термодинамикой ЧД (Бекенштейн 1973, Хокинг 1974), наблюдениями LIGO-Virgo-KAGRA (η = 0.03–0.08), аргументом Солтана для AGN, моделями AGN feedback (McNamara, Fabian), тепловым балансом Земли, термодинамическим выводом уравнений Эйнштейна (Jacobson 1995), энтропийной гравитацией (Verlinde 2011).

Отличие от существующих подходов.

Якобсон и Верлинде работают на уровне локальной термодинамики горизонтов. Принцип цикла рассматривает узлы как макроскопические сущности с собственным циклом и сеть таких узлов как первичный объект. Сдвигает вопрос с «откуда гравитация» на «какова структура устойчивых конфигураций в поле и почему она универсальна на разных масштабах».

Проверяемые предсказания.

(P1) Распределение η в данных LISA для сверхмассивных ЧД совпадает с распределением LIGO для звёздных с точностью до спинового множителя.

(P2) Соотношение f_A·P_A + f_B·P_B ≈ L_cool выполняется для статистически значимой выборки AGN. Проверяемо на текущих данных Chandra и LOFAR.

Задача формализации.

— Построить функциональную форму f, связывающую P_out с состоянием узла, для каждого класса. — Показать, что эти формы — частные случаи единой структуры, или классифицировать классы. — Связать η_max с размерностью пространства и геометрией границы. — Дать явное условие устойчивости сети узлов как целого.

Требуется аппарат дифференциальной геометрии, теории информации и неравновесной термодинамики.